\documentclass[pdftex,12pt,a4paper]{article}

\usepackage{geometry}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\geometry{left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}


\begin{document}

\begin{titlepage}
\begin{center}
 
 
% Upper part of the page
 
\textsc{\LARGE O \v{z}ivotu, univerzumu i svemu ostalom}\\[1.5cm]
 
\textsc{\Large http://www.mmilan.com/}\\[0.5cm]
 
\vfill
 
% Title
\HRule \\[0.4cm]
{ \huge \bfseries Obi\v{c}ne diferencijalne jedna\v{c}ine prvog i drugog reda}\\[0.4cm]
 
\HRule \\[1.5cm]
 
% Author and supervisor
\Large
\emph{Author:}\\
Milan \textsc{Milo\v{s}evi\'{c}}
\vfill

\includegraphics[width=15mm]{somerights.png} \includegraphics[width=15mm]{byncsa.png} \\
\small
\emph{Objavljeno pod Creative Commons "Attribution-Noncommercial-Share Alike" 3.0 Licencom}
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/rs/
 
\end{center}

\fancyhf{}
\newpage
\mbox{}
\newpage

\end{titlepage}

\pagestyle{fancy}
\lhead{Diferencijalne jedna\v{c}ine} \chead{\thepage} \rhead{Milan Milo\v{s}evi\'{c}}
\cfoot{\includegraphics[width=15mm]{small.png}}


\section{Diferencijalne jedna\v{c}ine prvog reda}
\label{sec:diferencijalne}

\subsection{Razdvojene promenljive}


\begin{equation}
\label{eq1}
y` = f(x)
\end{equation}




\begin{equation}
\label{eq2}
\begin{array}{l}
 y' = f(x) \Rightarrow dy = f(x)dx \\
 y = \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx + C} \\
 \end{array}
\end{equation}



U op\v{s}tem slu\v{c}aju:


\begin{equation}
\label{eq3}
\begin{array}{l}
 f(x)dx + g(y)dy = 0 \\
 \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx + \int\limits_{y_0 }^y {g(y)dy = C} } \\
 \end{array}
\end{equation}



\subsection{Homogena diferencijalna jedna\v{c}ina}
\label{subsec:homogena}


\begin{equation}
\label{eq4}
y' = f\left( {\frac{y}{x}} \right)
\end{equation}



Smenom: $\begin{array}{l}
 y = u \cdot x \\
 y' = u' \cdot x + u \\
 \end{array}$ polazna jedna\v{c}ina postaje:


\begin{equation}
\label{eq5}
\begin{array}{c}
 u' \cdot x + u = f(u) \\
 x \cdot du = (f(u) - u)dx \\
 \end{array}
\end{equation}



\noindent tj. diferencijalna jedna\v{c}ina oblika (\ref{eq1})



\textbf{\textit{Primedba: }}diferencijalna jedna\v{c}ina oblika:


\begin{equation}
\label{eq6}
y' = \left( {\frac{ax + by + c}{Ax + By + C}} \right)
\end{equation}



\noindent gde je \textit{a, b, c, A, B, C = const}, mo\v{z}e se
svesti na jedna\v{c}inu oblika (\ref{eq4}). Mogu\'{c}a su dva
slu\v{c}aja:

\textbf{\textit{1}}$^{o}$\textbf{\textit{)}} Ako je $\left|
{{\begin{array}{*{20}c}
 a \hfill & b \hfill \\
 A \hfill & B \hfill \\
\end{array} }} \right| \ne 0$ smenom: $\begin{array}{l}
 y = u + \alpha \\
 x = v + \beta \\
 \end{array}$ jedna\v{c}ina (\ref{eq6}) postaje:


\begin{equation}
\label{eq7}
\frac{du}{dv} = f\left( {\frac{av + bu + a\beta + b\alpha + c}{Av + Bu +
A\beta + B\alpha + C}} \right)
\end{equation}



Sistem jedna\v{c}ina:


\[
\begin{array}{c}
 a\beta + b\alpha + c = 0 \\
 A\beta + B\alpha + C = 0 \\
 \end{array}
\]



\noindent ima re\v{s}enje po \textit{$\alpha $} i \textit{$\beta $
}pa jedna\v{c}ina (\ref{eq7}) postaje:


\begin{equation}
\label{eq8}
\frac{du}{dv} = f\left( {\frac{av + bu}{Av + Bu}} \right) = f\left( {\frac{a
+ b\frac{u}{v}}{A + B\frac{u}{v}}} \right)
\end{equation}



\noindent a to je jedna\v{c}ina oblika (\ref{eq4}).

\textbf{\textit{2}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}Neka je $\left|
{{\begin{array}{*{20}c}
 a \hfill & b \hfill \\
 A \hfill & B \hfill \\
\end{array} }} \right| = 0$, tj. $\begin{array}{l}
 A = ka \\
 B = kb \\
 \end{array}$ gde je $k$ konstanta. Smenom $ax + by = u$, gde je $u$ nova
nepoznata f-ja promenljive $x$. Jedna\v{c}ina (\ref{eq6}) postaje:


\begin{equation}
\label{eq9}
u' = a + b \cdot f\left( {\frac{u + c}{ku + c}} \right)
\end{equation}



\noindent odnosno jedna\v{c}ina oblika (\ref{eq1}).

\subsection{Linearna diferencijalna jedna\v{c}ina }
\label{subsec:linearna}


\begin{equation}
\label{eq10}
y' + f(x) \cdot y = g(x)
\end{equation}





Ako je $g(x) = 0$ jedna\v{c}ina (\ref{eq10}) se naziva homogena
linearna diferencijalna jedna\v{c}ina.

\textbf{\textit{1}}$^{o}$\textbf{\textit{)}} Homogena
jedna\v{c}ina:


\begin{equation}
\label{eq11}
y' + f(x) \cdot y = 0
\end{equation}



\noindent
za $y \ne 0$ postaje:


\begin{equation}
\label{eq12}
\frac{1}{y}dy = - f(x) \cdot dx
\end{equation}



\noindent tj. jedna\v{c}ina oblika (\ref{eq1}) \v{c}ije je
re\v{s}enje:


\begin{equation}
\label{eq13}
y = C \cdot e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} }
\end{equation}



Mo\v{z}e se uzeti $C = 0 \Rightarrow y = 0$ kao re\v{s}enje
jedna\v{c}ine (\ref{eq11}).

\textbf{\textit{2}}$^{o}$\textbf{\textit{)}} Da bi re\v{s}ili (\ref{eq10})
pretpostavimo $C = C(x)$:


\begin{equation}
\label{eq14}
y = C(x) \cdot e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} }
\end{equation}




\begin{equation}
\label{eq15}
y' = C'(x) \cdot e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} } - C(x) \cdot f(x)
\cdot e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} }
\end{equation}



\noindent
ako se jn-e (\ref{eq14}) i (\ref{eq15}) zamene u (\ref{eq10}) dobija se:


\begin{equation}
\label{eq16}
\begin{array}{l}
 C'(x) \cdot e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} } = g(x) \\
 C'(x) = g(x) \cdot e^{\int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} } \\
 \end{array}
\end{equation}



\noindent
odnosno:


\begin{equation}
\label{eq17}
C(x) = C + \int\limits_{x_0 }^x {g(x) \cdot e^{ - \int\limits_{x_0 }^x
{f(x)dx} }}
\end{equation}



\noindent pa je op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq10}):


\begin{equation}
\label{eq18}
y = e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} } \cdot (C + \int\limits_{x_0 }^x
{g(x) \cdot e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {f(x)dx} }} )
\end{equation}



U eksplicitnom obliku op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine
(\ref{eq10}) dato je kao:


\[
y = C \cdot F_1 (x) + F_2 (x)
\]



\noindent
tj. re\v{s}enje je izra\v{z}eno kao linearna funkcija integracione
konstante.

\subsection{Bernulijeva jedna\v{c}ina}
\label{subsec:bernulijeva}


\begin{equation}
\label{eq19}
y' + f(x) \cdot y = g(x) \cdot y^r
\end{equation}





Gde je $r \in R$, za $r = 0\mbox{ ili }r = 1$ jedna\v{c}ina
(\ref{eq19}) postaje linearna.

Uvo�enjem smene $\begin{array}{l}
 y = z^k \\
 y' = k \cdot z^{k - 1} \cdot z' \\
 \end{array}$, gde je $z$ nova nepoznata f-ja a $k$ konstanta, jedna\v{c}ina (\ref{eq19})
postaje:


\[
k \cdot z^{k - 1} \cdot z' + f(x) \cdot z^k = g(x) \cdot z^{kr}
\]




\begin{equation}
\label{eq20}
z' + \frac{1}{k}f(x) \cdot z = \frac{1}{k}g(x) \cdot z^{kr - k + 1}
\end{equation}



Konstantu $k$ treba izabrati tako da je:


\[
kr - k + 1 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{1 - r}
\]



Posle ove smene jedna\v{c}ina (\ref{eq20}) glasi:


\begin{equation}
\label{eq21}
z' + \frac{1}{k}f(x) \cdot z = \frac{1}{k}g(x)
\end{equation}



\noindent a to je linearna jedna\v{c}ina. Op\v{s}te re\v{s}enje
ove jedna\v{c}ine ima oblik:


\[
z = C \cdot F_1 (x) + F_2 (x)
\]



Prema tome, op\v{s}te re\v{s}enje Bernulijeve jedna\v{c}ine
mo\v{z}e se izraziti u eksplicitnom obliku:


\[
y = (C \cdot F_1 (x) + F_2 (x))^{\frac{1}{1 - r}}
\]



\subsection{Rikartijeva jedna\v{c}ina}
\label{subsec:rikartijeva}


\begin{equation}
\label{eq22}
y' + f(x) \cdot y^2 + g(x) \cdot y + h(x) = 0
\end{equation}





Za $h(x) \equiv 0\mbox{ i }f(x) \equiv 0$ jedna\v{c}ina postaje
Bernulijeva jedna\v{c}ina (\ref{eq19}), odnosno linearna
jedna\v{c}ina (\ref{eq10}). U op\v{s}tem slu\v{c}aju jedna\v{c}ina
(\ref{eq22}) se ne mo\v{z}e re\v{s}iti.

Ako je poznato jedno partikularno re\v{s}enje mo\v{z}e se dobiti i
op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq22}).

Smenom $y = y_1 + \frac{1}{z}$, gde je $y_{1}(x) $jedno
partikularno re\v{s}enje a $z$ nova nepoznata funkcija
jedna\v{c}ina (\ref{eq22}) postaje:


\[
y_1' - \frac{1}{z^2}z' + f(x)\left( {y_1^2 + 2y_1 \frac{1}{z} +
\frac{1}{z^2}} \right) + g(x)\left( {y_1 + \frac{1}{z}} \right) +
h(x) = 0
\]




\begin{equation}
\label{eq23}
z' - (2y_1 \cdot f(x) + g(x))z - f(x) = 0
\end{equation}



\noindent a to je linearna jedna\v{c}ina. Op\v{s}te re\v{s}enje
ove jedna\v{c}ine ima oblik:


\[
z = CF_1 (x) + F_2 (x)
\]



Prema tome op\v{s}te re\v{s}enje Rikartijeve jedna\v{c}ine
(\ref{eq22}) ima oblik:


\[
y = \frac{CF(x) + G(x)}{Ch(x) + K(x)}
\]



\noindent
gde je $C$ proizvoljna konstanta a $F, G, H $i $K $odre�ene funkcije.

\subsection{Klerova jedna\v{c}ina}
\label{subsec:klerova}


\begin{equation}
\label{eq24}
y = xy' + f(y')
\end{equation}





Smenom $y' = p$ jedna\v{c}ina postaje:


\begin{equation}
\label{eq25}
y = xp + f(p)
\end{equation}



\noindent
odakle se, nakon diferenciranja po $x$, dobija:


\[
\begin{array}{l}
 p = p + xp' + f'(p)p' \\
 (x + f'(p))p' = 0 \\
 \end{array}
\]



\textbf{\textit{1}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}Ako je $p' = 0
\Rightarrow p = C$ pa na osnovu jedna\v{c}ine (\ref{eq25})
op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq24}) ima oblik:


\[
y = Cx + f(C)
\]



\textbf{\textit{2}}$^{o}$\textbf{\textit{) }}Ako je $x + f'(p) =
0$ eliminacijom $p$ iz jedna\v{c}ina $\begin{array}{l}
 x + f'(p) = 0 \\
 y = xp + f(p) \\
 \end{array}$ dobija se singularno re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq24}) koje nije
izra\v{z}eno u op\v{s}tem re\v{s}enju.

\subsection{Lagran\v{z}eva jedna\v{c}ina}
\label{subsec:lagran}


\begin{equation}
\label{eq26}
y = xf(y') + g(y')
\end{equation}





Ova jedna\v{c}ina se re\v{s}ava sli\v{c}no kao i Klerova. Posle
smene $y' = p$ jedna\v{c}ina dobija oblik:


\[
y = xf(p) + g(p)
\]



\noindent
odakle se, nakon diferenciranja, dobija:


\[
p = f(p) + xf'(p)p' + g'(p)p'
\]




\begin{equation}
\label{eq27}
(f(p) - p)\frac{dx}{dp} + f'(p)x = - g'(p)
\end{equation}



Ako je $f(p) \equiv p$ jedna\v{c}ina (\ref{eq26}) je Klerova,
pretpostavimo onda da je $f(p) \ne p$ tada jedna\v{c}ina
(\ref{eq27}) postaje:


\begin{equation}
\label{eq28}
\frac{dx}{dp} + \frac{f'(p)}{f(p) - p}x = - \frac{g'(p)}{f(p) - p}
\end{equation}



\noindent a to je linearna jedna\v{c}ina. Jedna\v{c}ina
(\ref{eq28}) ima re\v{s}enje oblika


\[
x = CF_1 (p) + F_2 (p)
\]



\noindent pa je op\v{s}te re\v{s}enje Lagran\v{z}eve jedna\v{c}ine
(\ref{eq26}) u parametarskom obliku:


\begin{equation}
\label{eq29}
\begin{array}{l}
 x = CF_1 (p) + F_2 (p) \\
 y = xf(p) + g(p) \\
 \end{array}
\end{equation}



\subsection{Jedna\v{c}ina prvog reda drugog stepena}
\label{subsec:jedna}


\begin{equation}
\label{eq30}
(y')^2 + A(x,y)y' + B(x,y) = 0
\end{equation}





Ako se jedna\v{c}ina (\ref{eq30}) mo\v{z}e napisati u obliku:


\[
(y' - F_1 (x,y)) \cdot (y' - F_2 (x,y)) = 0
\]



\noindent tada se re\v{s}avanje jedna\v{c}ine (\ref{eq30}) svodi
na re\v{s}avanje dve jedna\v{c}ine prvog stepena:


\begin{equation}
\label{eq31}
\begin{array}{l}
 y' - F_1 (x,y) = 0 \\
 y' - F_2 (x,y) = 0 \\
 \end{array}
\end{equation}



Op\v{s}ta re\v{s}enja ovih jedna\v{c}ina su $\begin{array}{l}
 G_1 (x,y,C) = 0 \\
 G_2 (x,y,C) = 0 \\
 \end{array}$ pa je op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq30}):


\[
G_1 (x,y,C) \cdot G_2 (x,y,C) = 0
\]



\noindent
gde je $C $proizvoljna konstanta.

\subsection{Totalni diferencijal}
\label{subsec:totalni}


\begin{equation}
\label{eq32}
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
\end{equation}





\noindent
gde funkcije $P $i $Q$ imaju neprekidne parcijalne izvode po $x$ i $z$. Ako postoji
funkcija $u(x,y)$ takva da va\v{z}i:


\begin{equation}
\label{eq33}
du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy
\end{equation}



\noindent tada se jedna\v{c}ina (\ref{eq32}) naziva jedna\v{c}ina
sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna
jedna\v{c}ina..

Op\v{s}te re\v{s}enje egzaktne diferencijalne jedna\v{c}ine
(\ref{eq32}) odre�eno je relacijom:


\[
u(x,y) = C
\]



\noindent
gde je $C$ proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija $u$, za koju va\v{z}i (\ref{eq33}),
treba po\'{c}i od jednakosti:


\[
du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy
\]



\noindent
odakle se, upore�ivanjem sa (\ref{eq33}) dobija:


\begin{equation}
\label{eq34}
\frac{\partial u}{\partial x} = P(x,y),\mbox{ }\frac{\partial u}{\partial y}
= Q(x,y)
\end{equation}



\noindent
odnosno:


\[
\frac{\partial ^2u}{\partial x\partial y} = \frac{\partial P}{\partial
y},\mbox{ }\frac{\partial ^2u}{\partial y\partial x} = \frac{\partial
Q}{\partial x}
\]



Ovi me\v{s}oviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i
jednaki, pa je, prema tome, $\frac{\partial P}{\partial y} =
\frac{\partial Q}{\partial x}$ potreban uslov da jedna\v{c}ina
(\ref{eq32}) bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jedna\v{c}ine u (\ref{eq34})
dobija se:


\begin{equation}
\label{eq35}
u = \int_{x_0 }^x {P(x,y)dx + f(y)}
\end{equation}



\noindent
gde je $f(y) $neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza (\ref{eq35}) dobija se:


\[
\frac{\partial u}{\partial y} = \int_{x_0 }^x {\frac{\partial P}{\partial
y}dx + f'(y)}
\]




\begin{equation}
\label{eq36}
\frac{\partial u}{\partial y} = \int_{x_0 }^x {\frac{\partial Q}{\partial
x}dx + f'(x) = Q(x,y) - Q(x_0 ,y) + f'(y)}
\end{equation}



Druga jedna\v{c}ina u (\ref{eq34}) i jedna\v{c}ina (\ref{eq36})
daju:


\[
\begin{array}{c}
 Q(x,y) = Q(x,y) - Q(x_0 ,y) + f'(y) \\
 f'(y) = Q(x_0 ,y) \\
 f(y) = \int_{y_0 }^y {Q(x_0 ,y)dy + K} \\
 \end{array}
\]



\noindent
gde je $K$ proizvoljna konstanta.

Kona\v{c}no se dobija:


\[
u(x,y) = \int_{x_0 }^x {P(x,y)dx + \int_{y_0 }^y {Q(x_0 ,y)dy + K} }
\]



\noindent pa je op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq32})
dato sa:


\[
\int_{x_0 }^x {P(x,y)dx + \int_{y_0 }^y {Q(x_0 ,y)dy = C} }
\]



\noindent
gde je $C$ proizvoljna konstanta.

\section{Diferencijalne jedna\v{c}ine drugog reda}
\label{sec:mylabel2}

\subsection{Slu\v{c}aj svo�enja na jedna\v{c}inu prvog reda}



Op\v{s}ta diferencijalna jedna\v{c}ina drugog reda ima oblik:


\begin{equation}
\label{eq37}
F(x,y,y',y'') = 0
\end{equation}



U nekim slu\v{c}ajevima jedna\v{c}ina (\ref{eq37}) mo\v{z}e se
svesti na diferencijalnu jedna\v{c}inu prvog reda.


\[
F(x,y',y'') = 0
\]



Pomo\'{c}u smene $\begin{array}{l}
 u = y' \\
 u' = y'' \\
 \end{array}$ ova jedna\v{c}ina se svodi na jedna\v{c}inu prvog reda oblika:


\[
F(x,u,u') = 0.
\]




\[
F(y,y',y'') = 0
\]



Za re\v{s}avanje ovakve jedna\v{c}ine treba koristiti smenu$y' =
u$. Tada se dobija $y'' = \frac{du}{dx} =
\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx} = u\frac{du}{dy}$. Tada polazna
jedna\v{c}ina postaje jedna\v{c}ina prvog reda:


\[
F\left( {y,u,u\frac{du}{dy}} \right) = 0
\]





\subsection{Homogena linearna diferencijalna jedna\v{c}ina drugog reda sa konstantnim
koeficijentima}
\label{subsec:mylabel2}


\begin{equation}
\label{eq38}
ay'' + by' + cy = 0
\end{equation}





Re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq38}) treba tra\v{z}iti u obliku
$y = e^{\lambda x}$, gde je \textit{$\lambda $} konstanta. Odavde
se dobija $\begin{array}{c}
 y' = \lambda e^{\lambda x} \\
 y'' = \lambda ^2e^{\lambda x} \\
 \end{array}$ pa jedna\v{c}ina (\ref{eq38}) dobija oblik::


\[
a\lambda ^2e^{\lambda x} + b\lambda e^{\lambda x} + ce^{\lambda x} = 0
\]




\begin{equation}
\label{eq39}
a\lambda ^2 + b\lambda + c = 0
\end{equation}



Dakle, $e^{\lambda x}$ je re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq38})
ako \textit{$\lambda $ }zadovoljava tzv. karakteristi\v{c}nu
jedna\v{c}inu (\ref{eq39}).

Mogu\'{c}a su tri slu\v{c}aja:



\textbf{\textit{1}}$^{0}$\textbf{\textit{)}} $\lambda _1 ,\lambda _2 \in
{\rm R}\mbox{ i }\lambda _1 \ne \lambda _2 $ tada su $\begin{array}{l}
 y_1 = e^{\lambda _1 x} \\
 y_2 = e^{\lambda _2 x} \\
 \end{array}$ linearno nezavisna re\v{s}enja jedna\v{c}ine (\ref{eq38}) pa je
op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine dato sa:


\[
y = C_1 e^{\lambda _1 x} + C_2 e^{\lambda _2 x}
\]



\noindent
gde su $C_{1}$ i $C_{2}$ proizvoljne konstante.



\textbf{\textit{2}}$^{0}$\textbf{\textit{)}} $\lambda _1 ,\lambda
_2 \in {\rm C}\mbox{ i }\lambda _1 \ne \lambda _2 $ tada je
$\begin{array}{l}
 \lambda _1 = \alpha + i\beta \\
 \lambda _2 = \alpha - i\beta \\
 \end{array}$ ($\alpha ,\beta \in R\mbox{ i }\beta \ne 0)$. Na osnovu
prethodnog slu\v{c}aja re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq38})
mo\v{z}e se izraziti u obliku:


\begin{equation}
\label{eq40}
y = C_1 e^{(\alpha + i\beta )x} + C_2 e^{(\alpha - i\beta )x}
\end{equation}



Po\v{s}to je $e^{i\omega } = \cos \omega + i\sin \omega $
re\v{s}enje (\ref{eq40}) mo\v{z}e se transformisati u slede\'{c}i
oblik:


\[
\begin{array}{l}
 y = e^{ax}\left[ {C_1 \left( {\cos \beta x + i\sin \beta x} \right) + C_2
\left( {\cos \beta x - i\sin \beta x} \right)} \right] \\
 y = e^{ax}\left[ {\left( {C_1 + C_2 } \right)\cos \beta x + i\left( {C_1 -
C_2 } \right)\sin \beta x} \right] \\
 \end{array}
\]




\begin{equation}
\label{eq41}
y = e^{ax}\left( {A\cos \beta x + B\sin \beta x} \right)
\end{equation}



\noindent
gde su $A $i $B$ proizvoljne konstante.



\textbf{\textit{3}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$\lambda _1 ,\lambda
_2 \in {\rm R}\mbox{ i }\lambda _1 = \lambda _2 = \lambda $ u ovom
slu\v{c}aju partikularna re\v{s}enja $\begin{array}{l}
 y_1 = e^{\lambda x} \\
 y_2 = xe^{\lambda x} \\
 \end{array}$ jedna\v{c}ine (\ref{eq38}) su linearno nezavisna pa op\v{s}te
re\v{s}enje glasi:


\[
y = e^{\lambda x}(C_1 + xC_2 )
\]



\subsection{Nehomogena linearna diferencijalna jedna\v{c}ina drugog reda sa konstantnim
koeficijentima}
\label{subsec:nehomogena}


\begin{equation}
\label{eq42}
ay'' + by' + cy = h(x)
\end{equation}





Re\v{s}enje odgovaraju\'{c}e homogene jedna\v{c}ine, oblika
(\ref{eq38}), mo\v{z}e se uvek odrediti pa se uvek mo\v{z}e
odrediti i re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq42}). U op\v{s}tem
slu\v{c}aju za re\v{s}avanje ove jedna\v{c}ine koristi se
\textit{metod varijacije konstanata}, ali za neke specijalne
oblike funkcije $h(x) $taj metod se mo\v{z}e izbe\'{c}i:





\textbf{\textit{1}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$h(x) = a_n x^x + a_{n - a}
x^{n - 1} + ... + a_0 $

Ako je $c \ne 0$ partikularno re\v{s}enje jedna\v{c}ine
(\ref{eq42}) treba tra\v{z}iti u obliku polinoma:


\begin{equation}
\label{eq43}
y = A_n x^n + A_{n - 1} x^{n - 1} + ... + A_0
\end{equation}



Koeficijenti polinoma polinoma (\ref{eq43}) dobijaju se
\textit{metodom neodredjenih koeficijenata}.

Ako je $c = 0\mbox{ i }b \ne 0$ partikularno re\v{s}enje treba tra\v{z}iti u
obliku:


\[
y = x\left( {A_n x^n + A_{n - 1} x^{n - 1} + ... + A_0 } \right)
\]



Za $b = c = 0$ re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq42}) dobija se
direktnom integracijom.



\begin{center}
\textbf{\textit{Metod neodredjenih koeficijenata}}
\end{center}

Na\'{c}i sve izvode re\v{s}enja (\ref{eq43}):


\[
\begin{array}{l}
 y = A_n x^n + A_{n - 1} x^{n - 1} + ... + A_2 x^2 + A_1 x + A_0 \\
 y' = nA_n x^{n - 1} + (n - 1)A_{n - 1} x^{n - 2} + ... + 2A_2 x + A_1 \\
 y'' = n(n - 1)A_n x^{n - 2} + (n - 1)(n - 2)A_{n - 1} x^{n - 3} + ... +
2A_2 \\
 \mbox{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .} \\
 \mbox{y}^{\mbox{(n)}} = n!A_n \\
 \end{array}
\]



Sve dobijene izvode vratiti u jedna\v{c}inu (\ref{eq42}) a zatim
izjedna\v{c}iti koeficijente uz odgovaraju\'{c}e \v{c}lanove.



\textbf{\textit{2}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$h(x) = Ae^{ax}$

U zavisnosti od re\v{s}enja karakteristi\v{c}ne jedna\v{c}ine:


\begin{equation}
\label{eq44}
a\lambda ^2 + b\lambda + c = 0
\end{equation}



\noindent
partikularno re\v{s}enje treba tra\v{z}iti u obliku:

\noindent
a) $y = Ke^{ax}\mbox{ za }\lambda \ne a$

\noindent
b) $y = Kxe^{ax}\mbox{ za }\lambda _1 = a$

\noindent
c) $y = Kx^2e^{ax}\mbox{ za }\lambda _1 = \lambda _2 = a$

\noindent gde je $K$ privremeno neodredjena konstanta.



\textbf{\textit{3}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$h(x) = A\cos px + B\sin px$

Ako \textit{ip} nije koren karakteristi\v{c}ne jedna\v{c}ine
(\ref{eq44}) partikularno re\v{s}enje treba tra\v{z}iti u obliku:


\[
y = K_1 \cos px + K_2 \sin px
\]



\noindent
a ako jeste, onda re\v{s}enje tra\v{z}iti u obliku:


\[
y = x(K_1 \cos px + K_2 \sin px)
\]





\textbf{\textit{4}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$h(x) = e^{ax}P_n (x)$\textbf{,
}gde je $P_{n}(x)$ polinom n-tog stepena

Ako $a$ nije re\v{s}enje karakteristi\v{c}ne jedna\v{c}ine
(\ref{eq44}) tada je $y = e^{ax}Q_n (x)$, gde je $Q_{n}(x)$
polinom n-tog stepena sa neodredjenim koeficijentima. Ako je $a$
re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq44}) onda je $y = x^re^{ax}Q_n
(x)$, gde je $r$ vi\v{s}estrukost re\v{s}enja $a$ ($r = 1\mbox{
ili }r = 2)$.





\textbf{\textit{5}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$h(x) = e^{\alpha x}\left[ {P_n
(x)\cos \beta x + Q_m (x)\sin \beta x} \right]$

Ako $\alpha \pm i\beta $ nije re\v{s}enje karakteristi\v{c}ne
jedna\v{c}ine (\ref{eq44}) uzeti:


\[
y = e^{\alpha x}\left[ {S_N (x)\cos \beta x + T_N (x)\sin \beta x} \right]
\]



\noindent
gde su $S_{N}(x) $i $T_{N}(x) $polinomi stepena $N = \max \left\{ {n,m} \right\}$.

U suprotnom slu\v{c}aju, ako je $\alpha \pm i\beta $ re\v{s}enje
karakteristi\v{c}ne jedna\v{c}ine onda je:


\[
y = x^re^{\alpha x}\left[ {S_N (x)\cos \beta x + T_N (x)\sin \beta x}
\right]
\]



\noindent gde je $r$ vi\v{s}estrukost re\v{s}enja $\alpha \pm
i\beta $ (za jedna\v{c}ine drugog reda $r = 1)$.

\subsection{Ojlerova linearna jedna\v{c}ina drugog reda}
\label{subsec:ojlerova}


\begin{equation}
\label{eq45}
ax^2y'' + bxy' + cy = h(x)
\end{equation}





Prvo treba re\v{s}iti odgovaraju\'{c}u homogenu jedna\v{c}inu:


\begin{equation}
\label{eq46}
ax^2y'' + bxy' + cy = 0
\end{equation}



Ako se pretpostavi da jedna\v{c}ina (\ref{eq45}) ima re\v{s}enje
oblika $y = x^\lambda $ ($\lambda _{ }$je parametar koji treba
odrediti) tada je $\begin{array}{l}
 y' = \lambda x^{\lambda - 1} \\
 y'' = \lambda \left( {\lambda - 1} \right)x^{\lambda - 2} \\
 \end{array}$ pa jedna\v{c}ina (\ref{eq46}) postaje:


\[
\left[ {a\lambda \left( {\lambda - 1} \right) + b\lambda + c}
\right]x^\lambda = 0
\]




\begin{equation}
\label{eq47}
a\lambda ^2 + \left( {b - a} \right)\lambda + c = 0
\end{equation}



Razlikuje se nekoliko slu\v{c}ajeva:



\textbf{\textit{1}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$\lambda _1 ,\lambda _2 \in
{\rm R},\mbox{ }\lambda _1 \ne \lambda _2 $

Op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine (\ref{eq46}) glasi:


\[
y = C_1 x^{\lambda _1 } + C_2 x^{\lambda _2 }
\]



\noindent
gde su $C_{1}$ i $C_{2}$ proizvoljne konstante.



\textbf{\textit{2}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$\lambda _1 ,\lambda _2 \in
{\rm C},\mbox{ }\lambda _{1,2} = \alpha \pm i\beta $

U ovom slu\v{c}aju, iz


\[
\begin{array}{c}
 y = C_1 x^{\alpha + i\beta } + C_2 x^{\alpha - i\beta } = x^\alpha \left(
{C_1 x^{i\beta } + C_2 x^{ - i\beta }} \right) \\
 x^{i\beta } = e^{i\beta \log x} = \cos \left( {\beta \log x} \right) +
i\sin \left( {\beta \log x} \right) \\
 \end{array}
\]



\noindent dobija se op\v{s}te re\v{s}enje jedna\v{c}ine
(\ref{eq46}) u obliku:


\[
y = x^\alpha \left( {A_1 \cos \left( {\beta \log x} \right) + A_2 \sin
\left( {\beta \log x} \right)} \right)
\]



\noindent
gde su $A_{1}$ i $A_{2}$ proizvoljne konstante.



\textbf{\textit{3}}$^{0}$\textbf{\textit{) }}$\lambda _1 ,\lambda _2 \in
{\rm R},\mbox{ }\lambda _1 = \lambda _2 = \lambda $

U ovom slu\v{c}aju partikularna re\v{s}enja jedna\v{c}ine
(\ref{eq46}) su $y = x^\lambda $ i $y = x^\lambda \log x$ pa je
op\v{s}te re\v{s}enje glasi:


\[
y = \left( {C_1 + C_2 \log x} \right)x^\lambda
\]



\noindent
gde su $C_{1}$ i $C_{2}$ proizvoljne konstante.



U sva tri slu\v{c}aja pre\'{c}utno je pretpostavljeno da je $x >
0$. Ako je $x < 0$ treba po\'{c}i od re\v{s}enja oblika $y =
\left( { - x} \right)^\lambda $.

Op\v{s}te re\v{s}enje nehomogene jedna\v{c}ine (\ref{eq45}) dobija
se iz op\v{s}teg re\v{s}enja homogene jedna\v{c}ine (\ref{eq46})
standardnim \textit{metodom varijacije konstanata}.





\end{document}
