apolo11-pre-poletanja

52 godine od Malog koraka za čoveka - Apolo 11

Na današnji dan, pre tačno 52 godine, 20. jula 1969. godine čovek je prvi sleteo na površinu drugog nebeskog tela.Oko šest sati pre “malog koraka za čoveka, ali velikog za čovečanstvo” dvočlana posada ...
Perseids_Meteor_Shower_2012

Predavanje “O meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo fizike i matematike”

Specijalan gost ovogodišnjeg programa Maj mesec matematike u Nišu biće prof. dr Dragan Gajić. U četvrtak 20. maja 2021. godine od 19:45 h, prof dr Dragan Gajić će održati online predavanjeO meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo ...
earth-living-conditions

Dan planete Zemlje - 22. april

Današnji dan se od 1970. godine u celom svetu obeležava kao međunarodni dan naše planete Zemlje. Kada je pre 48 godina američki senator Gajrold Nelson inicirao ideju da ovaj dan ...
yuri_gagarin_01

Juri Gagarin - 60 godina od prvog leta u svemir

Pre tačno 60 godina, 12. aprila 1961. godine oko 9 sati po Moskovskom vremenu, raketa Vostok 1 poletela je ka svemiru. U raketi je sedeo Juri Gagarin koji je nekoliko minuta kasnije postao prvi čovek u ...
Slide9

Predavanje Saturn - gospodar prstenova

Predavanje „Najvišu planetu vidim trostruko ili Saturn - gospodar prstenova" biće održano u četvrtak 4. marta od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD Alfa, kao i na ...
Slide8

Predavanje “Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!”

Predavanje „Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!“ biće održano u četvrtak 18. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD ...
Slide7

Predavanje: “Mars – Mirna planeta boga rata”

Predavanje „Mars – Mirna planeta boga rata“ biće održano u četvrtak 11. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu Astronomskog društva “Alfa” iz Niša, kao ...
predavanje-02

Predavanje “Sunce – zvezda Sunčevog sistema”

U četvrtak 24. decembra od 19 h biće održano online predavanjeSunce – zvezda Sunčevog sistemapredavač će biti dr Milan Milošević. Predavanje možete pratiti na sajtu AD Alfa i na našem YouTube kanalu, kao i na ...
Jupiter-and-Saturn-777x466-1

Velika konjunkcija Jupitera i Saturna

Sutra, u ponedeljak 21. decembra 2020. godine dve najveće planete Sunčevog sistema. Jupiter i Saturn, na nebu će izgledati vrlo blizu. Kad padne mrak, na zapadu, nisko na horizontu sijaće ...
solar-system-nasa

Serija predavanja: “Ekskurzija kroz Sunčev sistem”

Astronomsko društvo “Alfa”, u sklopu projekta “Malim koracima ka astronomiji” vas, kroz seriju predavanja “vodi” na ekskurziju kroz Sunčev sistem.Kroz niz tematskih predavanja imaćete priliku da se upoznate sa Sunčevim sistemom, Suncem, Zemljom i ...
ada_lovelace_portrait

Rođendan Ejde King Lavlejs - prve programerke

Samo dan kasnije ali i mnogo godina pre rođenja Grejs Hoper, na današnji dan, 10. decembra 1815. godine rođena je Ejda King Lavlejs (Ada Lovelace), ćerka čuvenog engleskog pesnika Lorda Bajrona, ...
Grace-Hopper

Grejs Hoper: do ratne mornarice do kompajlera i buba

Kada govorimo o IT sektoru, matematici i vojsci verovatno nam prva asocijacija budu muškarci. Međutim, tu sliku menja žena rođena na današnji dan, 9. decembra 1906. godine u Njujorku. Doktorirala ...
crna-rupa-noc-istrazivaca

Od crne rupe do Nobelove nagrade za fiziku - snimak predavanja

Ovogodišnja, 11. po redu, „Evropska noć istraživača“ u virtuelnom okruženju, donoseći putem interneta brojne eksperimente, radionice, izložbe, predavanja i druženja sa naučnicima.Naučnici i istraživači iz najrazličitijih oblasti biće na istom ...
NightOfThePerseids_Horalek_1800

Meteorska kiša - Perseidi 2020 (Stižu zvezde “padalice”)

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine oko 10. avgusta "zvezde padalice" ...
kupola-atomske-bombe

Dan kada je eksplodirala prva atomska bomba

Pre tačno 75 godine, tačnije 6. avgusta 1945. američki avion bombarder bacio je jednu jedinu bombu na japanski grad. Taj grad bila je Hirošima, a posledice te bombe pamtiće generacije ...
covid-19

Korona virus - COVID-19 (korisni linkovi)

Ako prethodnih par nedelja (meseci) niste bili na godišnjem odmoru na Mesecu, Marsu ili Jupiteru sigurno ste puno toga čuli, videli, pročitali o tzv. korona virusu (tj. virusu SARS-CoV-2) koji ...
530px-palebluedot

30 godina Plave tačke u beskraju i Porodičnog portreta

Šta mislite šta je ovo na slici? Ne znate? …  Ova svetla tačka je Zemlja, naša planeta. Generacije ljudi, hiljadama godina žive na toj svetloj tački, sve što ste ikada… nalazi se na njoj…A fotografije je ...
nikola-tesla-munje-kolorado-springs

Nikola Tesla - čovek koji je pronašao XX vek

U Njujorku je na današnji dan, na Božić, 1943. godine umro jedan od najvećih istraživača koji je ikada živeo - Nikola Tesla, "čovek koji je izmislio XX vek", kako ga ...
planeta-vlasina

Planeta Vlasina oko zvezde Morave

Povodom jubileja koji ove godine obeležava Međunarodna astronomska unija (MAU), 100 godina od svog osnivanja, sve zemlje članice MAU su imale jedinstvenu priliku da kumuju imenu jednoj od novootkrivenih planeta ...
sunbathing

Sunčanje i/ili zdravlje? Izaberite sami!

Sunce, taj žuti disk koji svakoga dana putuje po plavom nebeskom svodu, je samo jedna od nekoliko milijardi zvezda rasutih svuda po praznom prostoru svemira. Ono je jedna sasvim obična ...
davinci

Leonardo da Vinči: Umetnik. Naučnik. Pronalazač.

Pišu: Jovana Savić i Jovana Stanimirović“Onaj ko isključivo ceni praksu bez teorije je poput moreplovca koji se ukrca na brod bez kormila i kompasa, ne znajući kuda se plovi.” - ...
crna-rupa-prva

Prva fotografija crne rupe!

Već nekoliko decenija, a može se reći i vekova, crne rupe privlače ogromnu pažnju kako naučnika tako i javnosti, kroz popularne tekstove, različite ideje i SF romane i (visokobudžetne) filmove.Do ...
dositej-obradovic

Dositej Obradović – srpski prosvetitelj i reformator

„Knjige, braćo moja, knjige, a ne zvona i praporce!“Dositej ObradovićNa današnji dan 28. marta 1811. godine u Beogradu je umro najveći srpski prosvetitelj i reformator – Dositej Obradović. Sahranjen je ...
proposal

CERN – mesto gde je nastao “Internet”

Prvi World Wide Web Logo (Autor: Robert Cailliau)Prethodnih nekoliko godina imali smo prilike da često slušamo o CERN-u, LHC-u - i "najvećem eksperimentu čovečanstva", ulasku Srbije u punopravno članstvo, akceleratoru, ...
1524133194429

Kvalitet vazduha - boja, ukus i miris?

Kraj prošle i početak ove godine obeležilo je mnogo priče, a može se reći, i straha u javnosti u vezi kvaliteta vazduha u mnogim gradovima širom Srbije. Dok na društvenim ...

Rešenje “nemoguće slagalice”

U prethodnom tekstu postavio sam jedan “mali” matematičko-logički problem. Navedeni problem u literaturi je poznat kao Nemoguća slagalica, zbog prvidnog nedostatka informacija koje omogućavaju nalaženje jedinstvenog rešenja. Problem je poznat i pod imemom Problem sume i proizvoda. Problem je prvu put objavljen 1969. godine a kasnije je objavljeno dosta popularnih tekstova i radova sa objašnjenjem i rešenjem. Može se naći u nekoliko različitih jezičkih verzija i na različitim intervalima brojeva. Često se susreću i verzije koje, zbog jezičke nepreciznosti, nemaju rešenje. Problem nije lak, ali je moguće doći do rešenja, krenimo redom – rečenicu po rečenicu.

P: Nemam ideju koji bi to bili brojevi

Ova prva, naizgled beznačajna rečenica, na pomaže da eliminišemo piše od polovine mogućih suma. Činjenica da P ne zna brojeve x i y govori nam da ti brojevi nisu istovremeno prosti. Ako bi brojevi bili prost P bi samo iz proizvoda mogao jednoznačno da odredi te brojeve jer postoji samo jedan način za faktorizaciju proizvoda.Na primer ako bi traženi brojevi bili 5 i 7, tada je njihov proizvod 35, ili brojevi 7 \cdot 13=91. Jedini način da broj 35 ili 91 napišete kao proizvod je upravo preko navedenih parova brojeva. Kako P tvrdi da ne može da odredi brojeve ovo očigledno nije slučaj.

S: Znao sam da ti to ne možeš da znaš

Ovo rečenica, u kombinaciji sa prethodnim saznanjem, nam omogućava da iz skupa mogućih suma eliminišemo sve one koji se mogu napisati kao zbir dva prosta broja. S zna pomenutu osobinu prostih brojeva tako da nam ova rečenica potvrđuje da se suma ne može napisati kao zbir dva prosta broja. Ako bi suma bila npr. 28. Ovaj broj se, između ostalog, može napisati kao 5 + 23, tj suma prostih brojeva. Kada bi S znao sumu 28 on nikako ne bi mogao da tvrdi da P ne zna proizvod jer je P možda baš 5 \cdot 23=115. Pošto je S siguran da P ne može proizvod da razloži na proste brojeve iz skupa mogućih suma možemo da eliminišemo sve one koje se mogu dobiti kao zbir dva prosta broja.

Prema Goldbahovoj hipotezi svi parni brojevi mogu da se napišu kao suma dva prosta broja. Ova hipoteza nije dokazana, ali provereno važi za sve brojeve manje od 100 miliona (ako ne verujete, uvek možete da probate  za prvih 100 brojeva). Takođe, ako se setimo da je 2 prost broj možemo da eliminišemo i sve neparne brojeve koji se mogu napisati kao suma prost broj + 2.

Nakon ovoga ostaje nam sledeći skup mogućih suma:

\{ 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97 \}

Kako je svaka suma neparan broj jasno je da jedan sabirak mora da bude paran a drugi neparan.

P: Sada znam koji su to brojevi

S: Sada i ja znam koji su to brojevi

Ovde verovatno očekujete kristalnu kuglu, ali nepotrebna je. Dalje možemo i bez nje 🙂 Napišimo za svaku od mogućih suma odgovarajuće proizvode, za svaku kombinaciju njihovih sabiraka:

11 \to \{18, 24, 28, 30 \} \\ 17 \to \{30, 42, 52, 60, 66, 70, 72 \} \\ 23 \to \{42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132 \} \\ 27 \to 50, 72, 92, 110, 126, 140, 162, 170, 176, 180, 182\ldots itd

Pošto je P uspeo da pronađe brojeve zaključujemo da je proizvod moguće dobiti samo od sabiraka jedne od mogućih suma. Ako iz gornjih skupova proizvoda eliminišemo sve one koji odgovara za dve ili više suma dobijamo:

11 \to \{18, 24, 28,\} \\ 17 \to \{52 \} \\ 23 \to \{76, 112, 130 \} \\ \ldots itd

Kada bi ispisali celu listu brojeva dobilibi da jedino sumi 17 odgovara samo jedan proizvod, broj 52. U slučaju da ovo nije proizvod P došli bi u situaciju da je proizvod moguće napisati bar na dva načina, preko brojeva čija suma pripada skupu mogućih. Kako je P uspešno odredio brojeve, zaključujemo da je proizvod P upravo broj 52, a traženi brojevi x i y su 4 i 13.

Na sličan način i S dolazi do istih brojeva.

 17 = 2 + 15 \to 2 \cdot 15 = 30 = 6 \cdot 5 \\ 17 = 3 + 14 \to 14 \cdot 3 = 42 = 2 \cdot 21 \\ 17 = 4 + 13 \to 4 \cdot 13 = 52 \\ 17 = 5 + 12 \to 12 \cdot 5 = 60 = 2 \cdot 30 \\ 17 = 6 + 11 \to 6 \cdot 11 = 66 = 2 \cdot 33 \\ 17 = 7 + 10 \to 10 \cdot 7 = 70 = 2 \cdot 35 \\ 17 = 8 + 9 \to 8 \cdot 9 = 72 = 2 \cdot 36

Prema tome, rešenje zadatka je jedinstveno i to su brojevi 4 i 13.

Literatura:

  1. Goldbach Conjecture — from Wolfram MathWorld [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  2. Goldbach’s conjecture – Wikipedia, the free encyclopedia [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  3. How to Solve the Sum and Product Puzzle | eHow.com [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  4. Impossible Puzzle – Wikipedia, the free encyclopedia [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  5. The Impossible Problem!!!! [Internet]. [cited 2009 Oct 30];
One Response
  1. avatar 06.11.2009.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: