skolaPMN

Otvaranje Škole prirodno-matematičkih nauka u Nišu

U subotu, 18. novembra na Prirodno-matematičkom fakultetu u Nišu počinje Škola prirodno-matematičkih nauka. Ovu školu namenjenu učenicima 7. i 8. razreda osnovne i svih razreda srednje škole ove godine po ...
biosignatureNajava

Astrobiologija i astronomsko posmatranje povodom Noći istraživača

Povodom predstojeće Evropske noći istraživača AD "Alfa" i Departman za fiziku PMF-a u Nišu organizuju naučno-popularno predavanje (četvrtak, 28. septembar) i teleskopsko posmatranje (petak, 29. septembar).Jedno od kanonskih pitanja astrobiologije ...
Perseid Meteors over Mount Shasta

Letnji vatromet u epizodi Perseidi 2023

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine u vreme Nisville Jazz festivala, ...
Unearthed-SuperMoon-1611-1-web

Dva (plava) Supermeseca u avgustu 2023. godine

Ako sutra uveče pogledate u nebo videćete Supermesec, najveći Mesec u mnogo godina! Bićete svedok spektakularnog prizora kakav se retko viđa na nebu, pun Mesec će biti ogroman, najveći koji ...
kvark-kvazar

Od kvarka do kvazara - uz mnogo astrofizike i malo matematike u Maju mesecu matematike u Nišu

Obeležavanje Maja meseca matematike, u organizaciji Departmana za matematiku PMF-a u Nišu nastavlja se u petak, 26. maja, od 17:00 h, u amfiteatru Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu sa tri nova ...
Slika dana: Mesec u polusenci [18.10.2013]

Pomračenje Meseca polusenkom (5. maj 2023)

Za ovaj petak (5. maj) nebeska mehanika “pripremila” je pomračenje Meseca, Međutim, ovo pomračenje značajno će se razlikovati od onih atraktivnih delimičnih i totalnih pomračenja Meseca koja smo posmatrali tokom ...
slika2

Нобелова награда за физику 2022. године

Аутор: проф. др Мирољуб Дугић(Институт за физику, Природно-математички факултет, Универзитет у Крагујевцу)Нобелову награду за физику за 2022. годину поделила су тројица експерименталних физичара за област заснивања квантне механике, Ален Аспе ...
CometZtf_Hernandez_960

Kometa C/2022 E3 (ZTF)

Ako ste tokom prethodnih par meseci bili totalno izolovani od vesti ili toliko ne volite vesti iz astronomije da čim ih čujete menjate sajt/TV kanal/radio stanicu onda verovatno niste čuli ...
solar-eclipse

Delimično pomračenje Sunca (25. oktobar 2022)

Još tačno deset dana deli nas do predstojećeg delimičnog pomračenja Sunca koje će biti vidljivo iz Srbije. Pomračenje Sunca za mnoge je verovatno najznačajnija i najazanimljivija pojava koju možemo da ...
kosmicke-litice

Džejms Veb Teleskop - prve fotografije

Odavno je "Svet nauke" otišao u zimski... letnji... višegodišnji san i teško ga je probuditi ali neki događaji u nauci su toliko značajni da mogu da predstavljaju prekretnicu u budućem ...
800px-Benjamin_Franklin_1767

Bendžamin Frenklin (1706 - 1790)

Na današnji dan, 17. januara, 1706. godine, u Bostonu (Masačusets, SAD), rođen je Benžamin Frenklin (Benjamin Franklin), američki naučnik i političar, borac za ljudska prava, učesnik u Američkom ratu za ...
1280px-ALH84001_structures

Meteorit sa Marsa ALH84001

Najpoznatiji meteorit sa Marsa otkriven je 27. decembra 1984. godine na Antarktiku.Ovaj meteorit nosi oznaku ALH84001 i otkriven je u oblasti Allan Hills, grupi brda na Antarktiku. Pronašao ga tim ...
Slika dana: Galileo Galilej i teleskop [25.08.2014]

Prvi teleskop

Galileo Galilej i prvi teleskop (izvor: Physics Today)Na današnji dan 1609. godine Galileo Galilej predstavio je "prvi teleskop" Leonardu Donatu, vladaru Venecije, i njegovim savetnicima. Galileo Galilej napravio je ovaj ...
apolo11-pre-poletanja

52 godine od Malog koraka za čoveka - Apolo 11

Na današnji dan, pre tačno 52 godine, 20. jula 1969. godine čovek je prvi sleteo na površinu drugog nebeskog tela.Oko šest sati pre “malog koraka za čoveka, ali velikog za čovečanstvo” dvočlana posada ...
yuri_gagarin_01

Juri Gagarin - 60 godina od prvog leta u svemir

Pre tačno 60 godina, 12. aprila 1961. godine oko 9 sati po Moskovskom vremenu, raketa Vostok 1 poletela je ka svemiru. U raketi je sedeo Juri Gagarin koji je nekoliko minuta kasnije postao prvi čovek u ...
ada_lovelace_portrait

Rođendan Ejde King Lavlejs - prve programerke

Samo dan kasnije ali i mnogo godina pre rođenja Grejs Hoper, na današnji dan, 10. decembra 1815. godine rođena je Ejda King Lavlejs (Ada Lovelace), ćerka čuvenog engleskog pesnika Lorda Bajrona, ...
Grace-Hopper

Grejs Hoper: do ratne mornarice do kompajlera i buba

Kada govorimo o IT sektoru, matematici i vojsci verovatno nam prva asocijacija budu muškarci. Međutim, tu sliku menja žena rođena na današnji dan, 9. decembra 1906. godine u Njujorku. Doktorirala ...
kupola-atomske-bombe

Dan kada je eksplodirala prva atomska bomba

Pre tačno 75 godine, tačnije 6. avgusta 1945. američki avion bombarder bacio je jednu jedinu bombu na japanski grad. Taj grad bila je Hirošima, a posledice te bombe pamtiće generacije ...
530px-palebluedot

30 godina Plave tačke u beskraju i Porodičnog portreta

Šta mislite šta je ovo na slici? Ne znate? …  Ova svetla tačka je Zemlja, naša planeta. Generacije ljudi, hiljadama godina žive na toj svetloj tački, sve što ste ikada… nalazi se na njoj…A fotografije je ...
planeta-vlasina

Planeta Vlasina oko zvezde Morave

Povodom jubileja koji ove godine obeležava Međunarodna astronomska unija (MAU), 100 godina od svog osnivanja, sve zemlje članice MAU su imale jedinstvenu priliku da kumuju imenu jednoj od novootkrivenih planeta ...
sunbathing

Sunčanje i/ili zdravlje? Izaberite sami!

Sunce, taj žuti disk koji svakoga dana putuje po plavom nebeskom svodu, je samo jedna od nekoliko milijardi zvezda rasutih svuda po praznom prostoru svemira. Ono je jedna sasvim obična ...
davinci

Leonardo da Vinči: Umetnik. Naučnik. Pronalazač.

Pišu: Jovana Savić i Jovana Stanimirović“Onaj ko isključivo ceni praksu bez teorije je poput moreplovca koji se ukrca na brod bez kormila i kompasa, ne znajući kuda se plovi.” - ...
crna-rupa-prva

Prva fotografija crne rupe!

Već nekoliko decenija, a može se reći i vekova, crne rupe privlače ogromnu pažnju kako naučnika tako i javnosti, kroz popularne tekstove, različite ideje i SF romane i (visokobudžetne) filmove.Do ...
dositej-obradovic

Dositej Obradović – srpski prosvetitelj i reformator

„Knjige, braćo moja, knjige, a ne zvona i praporce!“Dositej ObradovićNa današnji dan 28. marta 1811. godine u Beogradu je umro najveći srpski prosvetitelj i reformator – Dositej Obradović. Sahranjen je ...
proposal

CERN – mesto gde je nastao “Internet”

Prvi World Wide Web Logo (Autor: Robert Cailliau)Prethodnih nekoliko godina imali smo prilike da često slušamo o CERN-u, LHC-u - i "najvećem eksperimentu čovečanstva", ulasku Srbije u punopravno članstvo, akceleratoru, ...

Rešenje “nemoguće slagalice”

U prethodnom tekstu postavio sam jedan “mali” matematičko-logički problem. Navedeni problem u literaturi je poznat kao Nemoguća slagalica, zbog prvidnog nedostatka informacija koje omogućavaju nalaženje jedinstvenog rešenja. Problem je poznat i pod imemom Problem sume i proizvoda. Problem je prvu put objavljen 1969. godine a kasnije je objavljeno dosta popularnih tekstova i radova sa objašnjenjem i rešenjem. Može se naći u nekoliko različitih jezičkih verzija i na različitim intervalima brojeva. Često se susreću i verzije koje, zbog jezičke nepreciznosti, nemaju rešenje. Problem nije lak, ali je moguće doći do rešenja, krenimo redom – rečenicu po rečenicu.

P: Nemam ideju koji bi to bili brojevi

Ova prva, naizgled beznačajna rečenica, na pomaže da eliminišemo piše od polovine mogućih suma. Činjenica da P ne zna brojeve x i y govori nam da ti brojevi nisu istovremeno prosti. Ako bi brojevi bili prost P bi samo iz proizvoda mogao jednoznačno da odredi te brojeve jer postoji samo jedan način za faktorizaciju proizvoda.Na primer ako bi traženi brojevi bili 5 i 7, tada je njihov proizvod 35, ili brojevi 7 \cdot 13=91. Jedini način da broj 35 ili 91 napišete kao proizvod je upravo preko navedenih parova brojeva. Kako P tvrdi da ne može da odredi brojeve ovo očigledno nije slučaj.

S: Znao sam da ti to ne možeš da znaš

Ovo rečenica, u kombinaciji sa prethodnim saznanjem, nam omogućava da iz skupa mogućih suma eliminišemo sve one koji se mogu napisati kao zbir dva prosta broja. S zna pomenutu osobinu prostih brojeva tako da nam ova rečenica potvrđuje da se suma ne može napisati kao zbir dva prosta broja. Ako bi suma bila npr. 28. Ovaj broj se, između ostalog, može napisati kao 5 + 23, tj suma prostih brojeva. Kada bi S znao sumu 28 on nikako ne bi mogao da tvrdi da P ne zna proizvod jer je P možda baš 5 \cdot 23=115. Pošto je S siguran da P ne može proizvod da razloži na proste brojeve iz skupa mogućih suma možemo da eliminišemo sve one koje se mogu dobiti kao zbir dva prosta broja.

Prema Goldbahovoj hipotezi svi parni brojevi mogu da se napišu kao suma dva prosta broja. Ova hipoteza nije dokazana, ali provereno važi za sve brojeve manje od 100 miliona (ako ne verujete, uvek možete da probate  za prvih 100 brojeva). Takođe, ako se setimo da je 2 prost broj možemo da eliminišemo i sve neparne brojeve koji se mogu napisati kao suma prost broj + 2.

Nakon ovoga ostaje nam sledeći skup mogućih suma:

\{ 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97 \}

Kako je svaka suma neparan broj jasno je da jedan sabirak mora da bude paran a drugi neparan.

P: Sada znam koji su to brojevi

S: Sada i ja znam koji su to brojevi

Ovde verovatno očekujete kristalnu kuglu, ali nepotrebna je. Dalje možemo i bez nje 🙂 Napišimo za svaku od mogućih suma odgovarajuće proizvode, za svaku kombinaciju njihovih sabiraka:

11 \to \{18, 24, 28, 30 \} \\ 17 \to \{30, 42, 52, 60, 66, 70, 72 \} \\ 23 \to \{42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132 \} \\ 27 \to 50, 72, 92, 110, 126, 140, 162, 170, 176, 180, 182\ldots itd

Pošto je P uspeo da pronađe brojeve zaključujemo da je proizvod moguće dobiti samo od sabiraka jedne od mogućih suma. Ako iz gornjih skupova proizvoda eliminišemo sve one koji odgovara za dve ili više suma dobijamo:

11 \to \{18, 24, 28,\} \\ 17 \to \{52 \} \\ 23 \to \{76, 112, 130 \} \\ \ldots itd

Kada bi ispisali celu listu brojeva dobilibi da jedino sumi 17 odgovara samo jedan proizvod, broj 52. U slučaju da ovo nije proizvod P došli bi u situaciju da je proizvod moguće napisati bar na dva načina, preko brojeva čija suma pripada skupu mogućih. Kako je P uspešno odredio brojeve, zaključujemo da je proizvod P upravo broj 52, a traženi brojevi x i y su 4 i 13.

Na sličan način i S dolazi do istih brojeva.

 17 = 2 + 15 \to 2 \cdot 15 = 30 = 6 \cdot 5 \\ 17 = 3 + 14 \to 14 \cdot 3 = 42 = 2 \cdot 21 \\ 17 = 4 + 13 \to 4 \cdot 13 = 52 \\ 17 = 5 + 12 \to 12 \cdot 5 = 60 = 2 \cdot 30 \\ 17 = 6 + 11 \to 6 \cdot 11 = 66 = 2 \cdot 33 \\ 17 = 7 + 10 \to 10 \cdot 7 = 70 = 2 \cdot 35 \\ 17 = 8 + 9 \to 8 \cdot 9 = 72 = 2 \cdot 36

Prema tome, rešenje zadatka je jedinstveno i to su brojevi 4 i 13.

Literatura:

  1. Goldbach Conjecture — from Wolfram MathWorld [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  2. Goldbach’s conjecture – Wikipedia, the free encyclopedia [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  3. How to Solve the Sum and Product Puzzle | eHow.com [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  4. Impossible Puzzle – Wikipedia, the free encyclopedia [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
  5. The Impossible Problem!!!! [Internet]. [cited 2009 Oct 30];
One Response
  1. avatar 06.11.2009.

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.