DSC_2117

“Otvorena vrata” opservatorije na krovu PMF-a u Nišu (2022/23. godina)

Posle duže pauze AD Alfa i Laboratorija za astrofiziku, astronomiju i astrobiologiju Departmana za fiziku PMF-a u Nišu otvaraju svoja vrata za sve zainteresovane ljubitelje astronomije I organizuju teleskopska posmatranja.Tokom narednih nedelja, dok vremenski i ...
bpu11-v01

U Beogradu počinje 11. Međunarodna konferencija BPU

Pod pokroviteljstvom Balkanske unije fizičara (Balkan Physical Union - BPU), u organizaciji Srpske akademije nauka i umetnosti (SANU), Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu (PMF Niš), Fizičkog fakulteta Univerziteta u Beogradu, uz ...
Perseid-meteor-shower-today-main-220809-c3f975

Meteorska kiša - Perseidi 2022

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine oko 10. avgusta "zvezde padalice" ...
kosmicke-litice

Džejms Veb Teleskop - prve fotografije

Odavno je "Svet nauke" otišao u zimski... letnji... višegodišnji san i teško ga je probuditi ali neki događaji u nauci su toliko značajni da mogu da predstavljaju prekretnicu u budućem ...
posterM3-nis

Maj mesec matematike u Nišu

Da li informacija samo o proseku verno opisuje razne pojave? Jesu li dobra stara vremena zaista bila tako dobra? Šta je zajedničko dizajnu Renoove karoserije i fontova? Može li nam ...
cmsMasterclass

CERN Masterclass 2022

U ponedeljak 4. apila 2022. godine pod pokroviteljstvom CERN-a i grupe IPPOG (International Particle Physics Outreach Group) održaće se 18. međunarodni program “MasterClasses – Hands on Particle Physics” (MC2022).U ovom obrazovno-istraživačkom programu ...
cms-posetajpg

Virtuelna poseta CMS eksperimenta u CERN-u

U četvrtak, 17. marta sa početkom od 19:00 h, biće organizovan simpozijum sa pratećim predavanjima i virtuelnom posetom CMS eksperimentu u CERN-u.CERN i naučne institucije iz Republike Srbije redovno organizuju obrazovne programe za učenike i ...
odeljenje-cover

Pripremna nastava za upis u Odeljenje za fiziku (šk. 2022/23)

Ove godine u Odeljenje za učenike sa posebnim sposobnostima za fiziku Gimnazije “Svetozar Marković” u Nišu stiže 20. generacija učenika. Nastavnici i saradnici Departmana za fiziku PMF-a, u saradnji sa ...
800px-Benjamin_Franklin_1767

Bendžamin Frenklin (1706 - 1790)

Na današnji dan, 17. januara, 1706. godine, u Bostonu (Masačusets, SAD), rođen je Benžamin Frenklin (Benjamin Franklin), američki naučnik i političar, borac za ljudska prava, učesnik u Američkom ratu za ...
svetnauke 2021

Srećna nova 2022. godina

Dragi prijatelji i prijateljice, kolegenice i kolege, saradnici i saradnice, slučajne prolaznice i prolaznici,dok polako odbrojavamo poslednje "metre" još jednog kruga oko Sunca i bližimo se kraju još jedne godine ...
1280px-ALH84001_structures

Meteorit sa Marsa ALH84001

Najpoznatiji meteorit sa Marsa otkriven je 27. decembra 1984. godine na Antarktiku.Ovaj meteorit nosi oznaku ALH84001 i otkriven je u oblasti Allan Hills, grupi brda na Antarktiku. Pronašao ga tim ...
NSF-blackhole-Ghez-NRFuller-768x551-1

Kako smo videli nevidljivo?

Povodom obeležavanja 50 godina studija fizike, hemije i matematike na Univerzitetu u Nišu i dana fakulteta, Prirodno-matematički fakultetu Nišu tokom septembra i oktobra organizuje seriju naučno-popularnih predavanja. Zbog epidemiološke situacija ...
nauke

50 godina fizike, hemije i matematike na PMF-u u Nišu

Povodom obeležavanja Dana Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu i 50 godina postojanja i uspešnog rada Departmana za hemiju, Departmana za fiziku i Departmana za matematiku PMF organizuje seriju naučno-popularnih predavanja. Predavanja ...
Slika dana: Galileo Galilej i teleskop [25.08.2014]

Prvi teleskop

Galileo Galilej i prvi teleskop (izvor: Physics Today)Na današnji dan 1609. godine Galileo Galilej predstavio je "prvi teleskop" Leonardu Donatu, vladaru Venecije, i njegovim savetnicima. Galileo Galilej napravio je ovaj ...
apolo11-pre-poletanja

52 godine od Malog koraka za čoveka - Apolo 11

Na današnji dan, pre tačno 52 godine, 20. jula 1969. godine čovek je prvi sleteo na površinu drugog nebeskog tela.Oko šest sati pre “malog koraka za čoveka, ali velikog za čovečanstvo” dvočlana posada ...
Perseids_Meteor_Shower_2012

Predavanje “O meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo fizike i matematike”

Specijalan gost ovogodišnjeg programa Maj mesec matematike u Nišu biće prof. dr Dragan Gajić. U četvrtak 20. maja 2021. godine od 19:45 h, prof dr Dragan Gajić će održati online predavanjeO meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo ...
earth-living-conditions

Dan planete Zemlje - 22. april

Današnji dan se od 1970. godine u celom svetu obeležava kao međunarodni dan naše planete Zemlje. Kada je pre 48 godina američki senator Gajrold Nelson inicirao ideju da ovaj dan ...
yuri_gagarin_01

Juri Gagarin - 60 godina od prvog leta u svemir

Pre tačno 60 godina, 12. aprila 1961. godine oko 9 sati po Moskovskom vremenu, raketa Vostok 1 poletela je ka svemiru. U raketi je sedeo Juri Gagarin koji je nekoliko minuta kasnije postao prvi čovek u ...
Slide9

Predavanje Saturn - gospodar prstenova

Predavanje „Najvišu planetu vidim trostruko ili Saturn - gospodar prstenova" biće održano u četvrtak 4. marta od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD Alfa, kao i na ...
Slide8

Predavanje “Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!”

Predavanje „Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!“ biće održano u četvrtak 18. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD ...
Slide7

Predavanje: “Mars – Mirna planeta boga rata”

Predavanje „Mars – Mirna planeta boga rata“ biće održano u četvrtak 11. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu Astronomskog društva “Alfa” iz Niša, kao ...
predavanje-02

Predavanje “Sunce – zvezda Sunčevog sistema”

U četvrtak 24. decembra od 19 h biće održano online predavanjeSunce – zvezda Sunčevog sistemapredavač će biti dr Milan Milošević. Predavanje možete pratiti na sajtu AD Alfa i na našem YouTube kanalu, kao i na ...
Jupiter-and-Saturn-777x466-1

Velika konjunkcija Jupitera i Saturna

Sutra, u ponedeljak 21. decembra 2020. godine dve najveće planete Sunčevog sistema. Jupiter i Saturn, na nebu će izgledati vrlo blizu. Kad padne mrak, na zapadu, nisko na horizontu sijaće ...
solar-system-nasa

Serija predavanja: “Ekskurzija kroz Sunčev sistem”

Astronomsko društvo “Alfa”, u sklopu projekta “Malim koracima ka astronomiji” vas, kroz seriju predavanja “vodi” na ekskurziju kroz Sunčev sistem.Kroz niz tematskih predavanja imaćete priliku da se upoznate sa Sunčevim sistemom, Suncem, Zemljom i ...
ada_lovelace_portrait

Rođendan Ejde King Lavlejs - prve programerke

Samo dan kasnije ali i mnogo godina pre rođenja Grejs Hoper, na današnji dan, 10. decembra 1815. godine rođena je Ejda King Lavlejs (Ada Lovelace), ćerka čuvenog engleskog pesnika Lorda Bajrona, ...

Obične diferencijalne jednačine drugog reda

Metodi resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina drugog reda.

2.1 Slučaj svođenja na jednačinu prvog reda

Opšta diferencijalna jednačina drugog reda ima oblik:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 1

U nekim slučajevima jednačina može se svesti na diferencijalnu jednačinu prvog reda.

1) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 2

Pomoću smene Obične diferencijalne jednačine drugog reda 3 ova jednačina se svodi na jednačinu prvog reda oblika:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 4.

2) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 5

Za rešavanje ovakve jednačine treba koristiti smenuObične diferencijalne jednačine drugog reda 6. Tada se dobija Obične diferencijalne jednačine drugog reda 7. Tada polazna jednačina postaje jednačina prvog reda:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 8

2.2 Homogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 9

Rešenje jednačine treba tražiti u obliku Obične diferencijalne jednačine drugog reda 10, gde je l konstanta. Odavde se dobija Obične diferencijalne jednačine drugog reda 11 pa jednačina dobija oblik::

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 12

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 13

Dakle, Obične diferencijalne jednačine drugog reda 14 je rešenje jednačine ako lzadovoljava tzv. karakterističnu jednačinu .

Moguća su tri slučaja:

10) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 15 tada su Obične diferencijalne jednačine drugog reda 16 linearno nezavisna rešenja jednačine pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 17

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.

20) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 18 tada je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 19 (Obične diferencijalne jednačine drugog reda 20). Na osnovu prethodnog slučaja rešenje jednačine može se izraziti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 21

Pošto je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 22 rešenje može se transformisati u sledeći oblik:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 23

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 24

gde su A i B proizvoljne konstante.

30) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 25 u ovom slučaju partikularna rešenja Obične diferencijalne jednačine drugog reda 26 jednačine su linearno nezavisna pa opšte rešenje glasi:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 27

2.3 Nehomogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 28

Rešenje odgovarajuće homogene jednačine, oblika , može se uvek odrediti pa se uvek može odrediti i rešenje jednačine . U opštem slučaju za rešavanje ove jednačine koristi se metod varijacije konstanata, ali za neke specijalne oblike funkcije h(x) taj metod se može izbeći:

10) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 29

Ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 30 partikularno rešenje jednačine treba tražiti u obliku polinoma:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 31

Koeficijenti polinoma polinoma dobijaju se metodom neodređenih koeficijenata.

Ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 32 partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 33

Za Obične diferencijalne jednačine drugog reda 34 rešenje jednačine dobija se direktnom integracijom.

Metod neodređenih koeficijenata

Naći sve izvode rešenja :

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 35

Sve dobijene izvode vratiti u jednačinu a zatim izjednačiti koeficijente uz odgovarajuće članove.

20) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 36

U zavisnosti od rešenja karakteristične jednačine:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 13

partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

a) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 38

b) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 39

c) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 40

gde je K privremeno neodređena konstanta.

30) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 41

Ako ip nije koren karakteristične jednačine partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 42

a ako jeste, onda rešenje tražiti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 43

40) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 44, gde je Pn(x) polinom n-tog stepena

Ako a nije rešenje karakteristične jednačine tada je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 45, gde je Qn(x) polinom n-tog stepena sa neodređenim koeficijentima. Ako je a rešenje jednačine onda je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 46, gde je r višestrukost rešenja a (Obične diferencijalne jednačine drugog reda 47).

50) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 48

Ako Obične diferencijalne jednačine drugog reda 49 nije rešenje karakteristične jednačine uzeti:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 50

gde su SN(x) i TN(x) polinomi stepena Obične diferencijalne jednačine drugog reda 51.

U suprotnom slučaju, ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 49 rešenje karakteristične jednačine onda je:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 53

gde je r višestrukost rešenja Obične diferencijalne jednačine drugog reda 49 (za jednačine drugog reda Obične diferencijalne jednačine drugog reda 55).

2.4    Ojlerova linearna jednačina drugog reda

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 56

Prvo treba rešiti odgovarajuću homogenu jednačinu:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 57

Ako se pretpostavi da jednačina ima rešenje oblika Obične diferencijalne jednačine drugog reda 58 (Obične diferencijalne jednačine drugog reda 59 je parametar koji treba odrediti) tada je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 60 pa jednačina postaje:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 61

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 62

Razlikuje se nekoliko slučajeva:

10) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 63

Opšte rešenje jednačine glasi:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 64

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.

20) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 65

U ovom slučaju, iz

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 66

dobija se opšte rešenje jednačine u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 67

gde su A1 i A2 proizvoljne konstante.

30) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 68

U ovom slučaju partikularna rešenja jednačine su Obične diferencijalne jednačine drugog reda 58 i Obične diferencijalne jednačine drugog reda 70 pa opšte rešenje glasi:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 71

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.

U sva tri slučaja prećutno je pretpostavljeno da je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 72. Ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 73 treba poći od rešenja oblika Obične diferencijalne jednačine drugog reda 74.

Opšte rešenje nehomogene jednačine dobija se iz opšteg rešenja homogene jednačine standardnim metodom varijacije
konstanata
.

Series NavigationDiferencijalne jednacine prvog redaDiferencijalne jednačine (PDF & TeX)
8 Comments
  1. avatar 15.09.2008.
  2. avatar 15.09.2008.
  3. avatar 07.01.2009.
  4. avatar 07.01.2009.
  5. avatar 02.05.2009.
  6. avatar 02.12.2012.
  7. avatar 05.12.2012.
  8. avatar 06.12.2012.

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: