Perseids_Meteor_Shower_2012

Predavanje “O meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo fizike i matematike”

Specijalan gost ovogodišnjeg programa Maj mesec matematike u Nišu biće prof. dr Dragan Gajić. U četvrtak 20. maja 2021. godine od 19:45 h, prof dr Dragan Gajić će održati online predavanjeO meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo ...
earth-living-conditions

Dan planete Zemlje - 22. april

Današnji dan se od 1970. godine u celom svetu obeležava kao međunarodni dan naše planete Zemlje. Kada je pre 48 godina američki senator Gajrold Nelson inicirao ideju da ovaj dan ...
yuri_gagarin_01

Juri Gagarin - 60 godina od prvog leta u svemir

Pre tačno 60 godina, 12. aprila 1961. godine oko 9 sati po Moskovskom vremenu, raketa Vostok 1 poletela je ka svemiru. U raketi je sedeo Juri Gagarin koji je nekoliko minuta kasnije postao prvi čovek u ...
Slide9

Predavanje Saturn - gospodar prstenova

Predavanje „Najvišu planetu vidim trostruko ili Saturn - gospodar prstenova" biće održano u četvrtak 4. marta od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD Alfa, kao i na ...
Slide8

Predavanje “Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!”

Predavanje „Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!“ biće održano u četvrtak 18. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD ...
Slide7

Predavanje: “Mars – Mirna planeta boga rata”

Predavanje „Mars – Mirna planeta boga rata“ biće održano u četvrtak 11. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu Astronomskog društva “Alfa” iz Niša, kao ...
predavanje-02

Predavanje “Sunce – zvezda Sunčevog sistema”

U četvrtak 24. decembra od 19 h biće održano online predavanjeSunce – zvezda Sunčevog sistemapredavač će biti dr Milan Milošević. Predavanje možete pratiti na sajtu AD Alfa i na našem YouTube kanalu, kao i na ...
Jupiter-and-Saturn-777x466-1

Velika konjunkcija Jupitera i Saturna

Sutra, u ponedeljak 21. decembra 2020. godine dve najveće planete Sunčevog sistema. Jupiter i Saturn, na nebu će izgledati vrlo blizu. Kad padne mrak, na zapadu, nisko na horizontu sijaće ...
solar-system-nasa

Serija predavanja: “Ekskurzija kroz Sunčev sistem”

Astronomsko društvo “Alfa”, u sklopu projekta “Malim koracima ka astronomiji” vas, kroz seriju predavanja “vodi” na ekskurziju kroz Sunčev sistem.Kroz niz tematskih predavanja imaćete priliku da se upoznate sa Sunčevim sistemom, Suncem, Zemljom i ...
ada_lovelace_portrait

Rođendan Ejde King Lavlejs - prve programerke

Samo dan kasnije ali i mnogo godina pre rođenja Grejs Hoper, na današnji dan, 10. decembra 1815. godine rođena je Ejda King Lavlejs (Ada Lovelace), ćerka čuvenog engleskog pesnika Lorda Bajrona, ...
Grace-Hopper

Grejs Hoper: do ratne mornarice do kompajlera i buba

Kada govorimo o IT sektoru, matematici i vojsci verovatno nam prva asocijacija budu muškarci. Međutim, tu sliku menja žena rođena na današnji dan, 9. decembra 1906. godine u Njujorku. Doktorirala ...
crna-rupa-noc-istrazivaca

Od crne rupe do Nobelove nagrade za fiziku - snimak predavanja

Ovogodišnja, 11. po redu, „Evropska noć istraživača“ u virtuelnom okruženju, donoseći putem interneta brojne eksperimente, radionice, izložbe, predavanja i druženja sa naučnicima.Naučnici i istraživači iz najrazličitijih oblasti biće na istom ...
NightOfThePerseids_Horalek_1800

Meteorska kiša - Perseidi 2020 (Stižu zvezde “padalice”)

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine oko 10. avgusta "zvezde padalice" ...
kupola-atomske-bombe

Dan kada je eksplodirala prva atomska bomba

Pre tačno 75 godine, tačnije 6. avgusta 1945. američki avion bombarder bacio je jednu jedinu bombu na japanski grad. Taj grad bila je Hirošima, a posledice te bombe pamtiće generacije ...
covid-19

Korona virus - COVID-19 (korisni linkovi)

Ako prethodnih par nedelja (meseci) niste bili na godišnjem odmoru na Mesecu, Marsu ili Jupiteru sigurno ste puno toga čuli, videli, pročitali o tzv. korona virusu (tj. virusu SARS-CoV-2) koji ...
530px-palebluedot

30 godina Plave tačke u beskraju i Porodičnog portreta

Šta mislite šta je ovo na slici? Ne znate? …  Ova svetla tačka je Zemlja, naša planeta. Generacije ljudi, hiljadama godina žive na toj svetloj tački, sve što ste ikada… nalazi se na njoj…A fotografije je ...
nikola-tesla-munje-kolorado-springs

Nikola Tesla - čovek koji je pronašao XX vek

U Njujorku je na današnji dan, na Božić, 1943. godine umro jedan od najvećih istraživača koji je ikada živeo - Nikola Tesla, "čovek koji je izmislio XX vek", kako ga ...
planeta-vlasina

Planeta Vlasina oko zvezde Morave

Povodom jubileja koji ove godine obeležava Međunarodna astronomska unija (MAU), 100 godina od svog osnivanja, sve zemlje članice MAU su imale jedinstvenu priliku da kumuju imenu jednoj od novootkrivenih planeta ...
sunbathing

Sunčanje i/ili zdravlje? Izaberite sami!

Sunce, taj žuti disk koji svakoga dana putuje po plavom nebeskom svodu, je samo jedna od nekoliko milijardi zvezda rasutih svuda po praznom prostoru svemira. Ono je jedna sasvim obična ...
davinci

Leonardo da Vinči: Umetnik. Naučnik. Pronalazač.

Pišu: Jovana Savić i Jovana Stanimirović“Onaj ko isključivo ceni praksu bez teorije je poput moreplovca koji se ukrca na brod bez kormila i kompasa, ne znajući kuda se plovi.” - ...
crna-rupa-prva

Prva fotografija crne rupe!

Već nekoliko decenija, a može se reći i vekova, crne rupe privlače ogromnu pažnju kako naučnika tako i javnosti, kroz popularne tekstove, različite ideje i SF romane i (visokobudžetne) filmove.Do ...
dositej-obradovic

Dositej Obradović – srpski prosvetitelj i reformator

„Knjige, braćo moja, knjige, a ne zvona i praporce!“Dositej ObradovićNa današnji dan 28. marta 1811. godine u Beogradu je umro najveći srpski prosvetitelj i reformator – Dositej Obradović. Sahranjen je ...
proposal

CERN – mesto gde je nastao “Internet”

Prvi World Wide Web Logo (Autor: Robert Cailliau)Prethodnih nekoliko godina imali smo prilike da često slušamo o CERN-u, LHC-u - i "najvećem eksperimentu čovečanstva", ulasku Srbije u punopravno članstvo, akceleratoru, ...
1524133194429

Kvalitet vazduha - boja, ukus i miris?

Kraj prošle i početak ove godine obeležilo je mnogo priče, a može se reći, i straha u javnosti u vezi kvaliteta vazduha u mnogim gradovima širom Srbije. Dok na društvenim ...
NH_KEM_JourneyThroughKB_Trajectory_Guo20181031_v2

Razglednica iz ledenih delova Sunčevog sistema

Noćas, dok je veliki deo planete još uvek slavio ili čekao Novu godinu, negde daleko, blizu same granice Sunčevog sistema dešavalo se nešto zanimljivo.Svemirska letelica "Novi horizonti" jutros je oko ...

Obične diferencijalne jednačine drugog reda

Metodi resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina drugog reda.

2.1 Slučaj svođenja na jednačinu prvog reda

Opšta diferencijalna jednačina drugog reda ima oblik:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 1

U nekim slučajevima jednačina može se svesti na diferencijalnu jednačinu prvog reda.

1) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 2

Pomoću smene Obične diferencijalne jednačine drugog reda 3 ova jednačina se svodi na jednačinu prvog reda oblika:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 4.

2) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 5

Za rešavanje ovakve jednačine treba koristiti smenuObične diferencijalne jednačine drugog reda 6. Tada se dobija Obične diferencijalne jednačine drugog reda 7. Tada polazna jednačina postaje jednačina prvog reda:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 8

2.2 Homogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 9

Rešenje jednačine treba tražiti u obliku Obične diferencijalne jednačine drugog reda 10, gde je l konstanta. Odavde se dobija Obične diferencijalne jednačine drugog reda 11 pa jednačina dobija oblik::

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 12

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 13

Dakle, Obične diferencijalne jednačine drugog reda 14 je rešenje jednačine ako lzadovoljava tzv. karakterističnu jednačinu .

Moguća su tri slučaja:

10) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 15 tada su Obične diferencijalne jednačine drugog reda 16 linearno nezavisna rešenja jednačine pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 17

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.

20) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 18 tada je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 19 (Obične diferencijalne jednačine drugog reda 20). Na osnovu prethodnog slučaja rešenje jednačine može se izraziti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 21

Pošto je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 22 rešenje može se transformisati u sledeći oblik:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 23

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 24

gde su A i B proizvoljne konstante.

30) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 25 u ovom slučaju partikularna rešenja Obične diferencijalne jednačine drugog reda 26 jednačine su linearno nezavisna pa opšte rešenje glasi:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 27

2.3 Nehomogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 28

Rešenje odgovarajuće homogene jednačine, oblika , može se uvek odrediti pa se uvek može odrediti i rešenje jednačine . U opštem slučaju za rešavanje ove jednačine koristi se metod varijacije konstanata, ali za neke specijalne oblike funkcije h(x) taj metod se može izbeći:

10) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 29

Ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 30 partikularno rešenje jednačine treba tražiti u obliku polinoma:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 31

Koeficijenti polinoma polinoma dobijaju se metodom neodređenih koeficijenata.

Ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 32 partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 33

Za Obične diferencijalne jednačine drugog reda 34 rešenje jednačine dobija se direktnom integracijom.

Metod neodređenih koeficijenata

Naći sve izvode rešenja :

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 35

Sve dobijene izvode vratiti u jednačinu a zatim izjednačiti koeficijente uz odgovarajuće članove.

20) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 36

U zavisnosti od rešenja karakteristične jednačine:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 13

partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

a) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 38

b) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 39

c) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 40

gde je K privremeno neodređena konstanta.

30) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 41

Ako ip nije koren karakteristične jednačine partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 42

a ako jeste, onda rešenje tražiti u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 43

40) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 44, gde je Pn(x) polinom n-tog stepena

Ako a nije rešenje karakteristične jednačine tada je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 45, gde je Qn(x) polinom n-tog stepena sa neodređenim koeficijentima. Ako je a rešenje jednačine onda je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 46, gde je r višestrukost rešenja a (Obične diferencijalne jednačine drugog reda 47).

50) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 48

Ako Obične diferencijalne jednačine drugog reda 49 nije rešenje karakteristične jednačine uzeti:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 50

gde su SN(x) i TN(x) polinomi stepena Obične diferencijalne jednačine drugog reda 51.

U suprotnom slučaju, ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 49 rešenje karakteristične jednačine onda je:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 53

gde je r višestrukost rešenja Obične diferencijalne jednačine drugog reda 49 (za jednačine drugog reda Obične diferencijalne jednačine drugog reda 55).

2.4    Ojlerova linearna jednačina drugog reda

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 56

Prvo treba rešiti odgovarajuću homogenu jednačinu:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 57

Ako se pretpostavi da jednačina ima rešenje oblika Obične diferencijalne jednačine drugog reda 58 (Obične diferencijalne jednačine drugog reda 59 je parametar koji treba odrediti) tada je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 60 pa jednačina postaje:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 61

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 62

Razlikuje se nekoliko slučajeva:

10) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 63

Opšte rešenje jednačine glasi:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 64

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.

20) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 65

U ovom slučaju, iz

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 66

dobija se opšte rešenje jednačine u obliku:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 67

gde su A1 i A2 proizvoljne konstante.

30) Obične diferencijalne jednačine drugog reda 68

U ovom slučaju partikularna rešenja jednačine su Obične diferencijalne jednačine drugog reda 58 i Obične diferencijalne jednačine drugog reda 70 pa opšte rešenje glasi:

Obične diferencijalne jednačine drugog reda 71

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.

U sva tri slučaja prećutno je pretpostavljeno da je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 72. Ako je Obične diferencijalne jednačine drugog reda 73 treba poći od rešenja oblika Obične diferencijalne jednačine drugog reda 74.

Opšte rešenje nehomogene jednačine dobija se iz opšteg rešenja homogene jednačine standardnim metodom varijacije
konstanata
.

Series NavigationDiferencijalne jednacine prvog redaDiferencijalne jednačine (PDF & TeX)
8 Comments
  1. avatar 15.09.2008.
  2. avatar 15.09.2008.
  3. avatar 07.01.2009.
  4. avatar 07.01.2009.
  5. avatar 02.05.2009.
  6. avatar 02.12.2012.
  7. avatar 05.12.2012.
  8. avatar 06.12.2012.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: