NightOfThePerseids_Horalek_1800

Meteorska kiša - Perseidi 2020 (Stižu zvezde “padalice”)

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine oko 10. avgusta "zvezde padalice" ...
kupola-atomske-bombe

Dan kada je eksplodirala prva atomska bomba

Pre tačno 75 godine, tačnije 6. avgusta 1945. američki avion bombarder bacio je jednu jedinu bombu na japanski grad. Taj grad bila je Hirošima, a posledice te bombe pamtiće generacije ...
APOD-Soponyai-PenumbralEclipse

“Pomračenje” Meseca – 5. jun 2020

Za večeras (5. jun) nebeska mehanika “pripremila” je pomračenje Meseca, Međutim, ovo pomračenje značajno će se razlikovati od onih atraktivnih delimičnih i totalnih pomračenja Meseca koja smo posmatrali tokom prethodnih par godina.Večerašnje pomračenje biće ...
demo2-launch-1024x584-1

Uspešno poletanje - Falkon 9 i Dragon

Sinoć, 30. maja, u 21:22 h po našem vremenu raketa Falcon 9 uspešno je poletela sa lansirne rampe 39A u Kenedi svemirskom centru. Na vrhu rakete nalazila se kapsula Dragon, ...
covid-19

Korona virus - COVID-19 (korisni linkovi)

Ako prethodnih par nedelja (meseci) niste bili na godišnjem odmoru na Mesecu, Marsu ili Jupiteru sigurno ste puno toga čuli, videli, pročitali o tzv. korona virusu (tj. virusu SARS-CoV-2) koji ...
CREATOR: gd-jpeg v1.0 (using IJG JPEG v62), quality = 82

Ajnštajn, Hoking i broj π

Postoje oni datume za koje čovek ne može da izdvoji najvažniji događaj koji se tada dogodio ili zbog čega je taj datum značajan. Jedan takav datum je 14. mart. U ...

Diferencijalne jednacine prvog reda

Kratak pregled metoda resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina prvog reda


1.1 Razdvojene promenljive

Diferencijalne jednacine prvog reda 1

Diferencijalne jednacine prvog reda 2

U opštem slučaju:

Diferencijalne jednacine prvog reda 3

1.2 Homogena diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 4

Smenom: Diferencijalne jednacine prvog reda 5 polazna jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 6

tj. diferencijalna jednačina oblika

Primedba: diferencijalna jednačina oblika:

Diferencijalne jednacine prvog reda 7

gde je a, b, c, A, B, C = const, može se svesti na jednačinu oblika . Moguća su dva slučaja:

1o) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 8 smenom: Diferencijalne jednacine prvog reda 9 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 10

Sistem jednačina:

Diferencijalne jednacine prvog reda 11

ima rešenje po a i bpa jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 12

a to je jednačina oblika .

20) Neka je Diferencijalne jednacine prvog reda 13, tj. Diferencijalne jednacine prvog reda 14 gde je k konstanta. Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 15, gde je u nova nepoznata f-ja promenljive x. Jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 16

odnosno jednačina oblika .

1.3 Linearna diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 17

Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 18 jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.

1o) Homogena jednačina:

Diferencijalne jednacine prvog reda 19

za Diferencijalne jednacine prvog reda 20 postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 21

tj. jednačina oblika čije je rešenje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 22

Može se uzeti Diferencijalne jednacine prvog reda 23 kao rešenje jednačine .

2o) Da bi rešili pretpostavimo Diferencijalne jednacine prvog reda 24:

Diferencijalne jednacine prvog reda 25

Diferencijalne jednacine prvog reda 26

ako se jn-e i zamene u dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 27

odnosno:

Diferencijalne jednacine prvog reda 28

pa je opšte rešenje jednačine :

Diferencijalne jednacine prvog reda 29

U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:

Diferencijalne jednacine prvog reda 30

tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.

1.4 Bernulijeva jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 31

Gde je Diferencijalne jednacine prvog reda 32, za Diferencijalne jednacine prvog reda 33 jednačina postaje linearna.

Uvođenjem smene Diferencijalne jednacine prvog reda 34, gde je z nova nepoznata f-ja a k konstanta, jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 35

Diferencijalne jednacine prvog reda 36

Konstantu k treba izabrati tako da je:

Diferencijalne jednacine prvog reda 37

Posle ove smene jednačina glasi:

Diferencijalne jednacine prvog reda 38

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 39

Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 40

1.5 Rikartijeva jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 41

Za Diferencijalne jednacine prvog reda 42 jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.

Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .

Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 43, gde je y1(x) jedno partikularno rešenje a z nova nepoznata funkcija jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 44

Diferencijalne jednacine prvog reda 45

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 46

Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 47

gde je C proizvoljna konstanta a F, G, H i K određene funkcije.

1.6 Klerova jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 48

Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 49 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 50

odakle se, nakon diferenciranja po x, dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 51

10) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 52 pa na osnovu jednačine opšte rešenje jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 53

2o) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 54 eliminacijom p iz jednačina Diferencijalne jednacine prvog reda 55 dobija se singularno rešenje jednačine koje nije izraženo u opštem rešenju.

1.7 Lagranževa jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 56

Ova jednačina se rešava slično kao i Klerova. Posle smene Diferencijalne jednacine prvog reda 49 jednačina dobija oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 58

odakle se, nakon diferenciranja, dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 59

Diferencijalne jednacine prvog reda 60

Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 61 jednačina je Klerova, pretpostavimo onda da je Diferencijalne jednacine prvog reda 62 tada jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 63

a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika

Diferencijalne jednacine prvog reda 64

pa je opšte rešenje Lagranževe jednačine u parametarskom obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 65

1.8 Jednačina prvog reda drugog stepena

Diferencijalne jednacine prvog reda 66

Ako se jednačina može napisati u obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 67

tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje dve jednačine prvog stepena:

Diferencijalne jednacine prvog reda 68

Opšta rešenja ovih jednačina su Diferencijalne jednacine prvog reda 69 pa je opšte rešenje jednačine :

Diferencijalne jednacine prvog reda 70

gde je C proizvoljna konstanta.

1.9 Totalni diferencijal

Diferencijalne jednacine prvog reda 71

gde funkcije P i Q imaju neprekidne parcijalne izvode po x i z. Ako postoji funkcija u(x,y) takva da važi:

Diferencijalne jednacine prvog reda 72

tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina..

Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeno je relacijom:

Diferencijalne jednacine prvog reda 73

gde je C proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija u, za koju važi , treba poći od jednakosti:

Diferencijalne jednacine prvog reda 74

odakle se, upoređivanjem sa dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 75

odnosno:

Diferencijalne jednacine prvog reda 76

Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i jednaki, pa je, prema tome, Diferencijalne jednacine prvog reda 77 potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 78

gde je f(y) neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 79

Diferencijalne jednacine prvog reda 80

Druga jednačina u i jednačina daju:

Diferencijalne jednacine prvog reda 81

gde je K proizvoljna konstanta.

Konačno se dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 82

pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

Diferencijalne jednacine prvog reda 83

gde je C proizvoljna konstanta.

Series NavigationObične diferencijalne jednačine drugog reda
15 Comments
  1. avatar 13.08.2007.
  2. avatar 13.08.2007.
  3. avatar 13.08.2007.
  4. avatar 28.12.2007.
  5. avatar 30.01.2008.
  6. avatar 30.01.2008.
  7. avatar 03.08.2008.
  8. avatar 21.05.2009.
  9. avatar 21.05.2009.
  10. avatar 24.08.2009.
  11. avatar 30.08.2009.
  12. avatar 28.10.2009.
  13. avatar 28.10.2009.
  14. avatar 29.10.2009.
  15. avatar 08.08.2011.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: