DSC_2117

“Otvorena vrata” opservatorije na krovu PMF-a u Nišu (2022/23. godina)

Posle duže pauze AD Alfa i Laboratorija za astrofiziku, astronomiju i astrobiologiju Departmana za fiziku PMF-a u Nišu otvaraju svoja vrata za sve zainteresovane ljubitelje astronomije I organizuju teleskopska posmatranja.Tokom narednih nedelja, dok vremenski i ...
bpu11-v01

U Beogradu počinje 11. Međunarodna konferencija BPU

Pod pokroviteljstvom Balkanske unije fizičara (Balkan Physical Union - BPU), u organizaciji Srpske akademije nauka i umetnosti (SANU), Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu (PMF Niš), Fizičkog fakulteta Univerziteta u Beogradu, uz ...
Perseid-meteor-shower-today-main-220809-c3f975

Meteorska kiša - Perseidi 2022

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine oko 10. avgusta "zvezde padalice" ...
kosmicke-litice

Džejms Veb Teleskop - prve fotografije

Odavno je "Svet nauke" otišao u zimski... letnji... višegodišnji san i teško ga je probuditi ali neki događaji u nauci su toliko značajni da mogu da predstavljaju prekretnicu u budućem ...
posterM3-nis

Maj mesec matematike u Nišu

Da li informacija samo o proseku verno opisuje razne pojave? Jesu li dobra stara vremena zaista bila tako dobra? Šta je zajedničko dizajnu Renoove karoserije i fontova? Može li nam ...
cmsMasterclass

CERN Masterclass 2022

U ponedeljak 4. apila 2022. godine pod pokroviteljstvom CERN-a i grupe IPPOG (International Particle Physics Outreach Group) održaće se 18. međunarodni program “MasterClasses – Hands on Particle Physics” (MC2022).U ovom obrazovno-istraživačkom programu ...
cms-posetajpg

Virtuelna poseta CMS eksperimenta u CERN-u

U četvrtak, 17. marta sa početkom od 19:00 h, biće organizovan simpozijum sa pratećim predavanjima i virtuelnom posetom CMS eksperimentu u CERN-u.CERN i naučne institucije iz Republike Srbije redovno organizuju obrazovne programe za učenike i ...
odeljenje-cover

Pripremna nastava za upis u Odeljenje za fiziku (šk. 2022/23)

Ove godine u Odeljenje za učenike sa posebnim sposobnostima za fiziku Gimnazije “Svetozar Marković” u Nišu stiže 20. generacija učenika. Nastavnici i saradnici Departmana za fiziku PMF-a, u saradnji sa ...
800px-Benjamin_Franklin_1767

Bendžamin Frenklin (1706 - 1790)

Na današnji dan, 17. januara, 1706. godine, u Bostonu (Masačusets, SAD), rođen je Benžamin Frenklin (Benjamin Franklin), američki naučnik i političar, borac za ljudska prava, učesnik u Američkom ratu za ...
svetnauke 2021

Srećna nova 2022. godina

Dragi prijatelji i prijateljice, kolegenice i kolege, saradnici i saradnice, slučajne prolaznice i prolaznici,dok polako odbrojavamo poslednje "metre" još jednog kruga oko Sunca i bližimo se kraju još jedne godine ...
1280px-ALH84001_structures

Meteorit sa Marsa ALH84001

Najpoznatiji meteorit sa Marsa otkriven je 27. decembra 1984. godine na Antarktiku.Ovaj meteorit nosi oznaku ALH84001 i otkriven je u oblasti Allan Hills, grupi brda na Antarktiku. Pronašao ga tim ...
NSF-blackhole-Ghez-NRFuller-768x551-1

Kako smo videli nevidljivo?

Povodom obeležavanja 50 godina studija fizike, hemije i matematike na Univerzitetu u Nišu i dana fakulteta, Prirodno-matematički fakultetu Nišu tokom septembra i oktobra organizuje seriju naučno-popularnih predavanja. Zbog epidemiološke situacija ...
nauke

50 godina fizike, hemije i matematike na PMF-u u Nišu

Povodom obeležavanja Dana Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu i 50 godina postojanja i uspešnog rada Departmana za hemiju, Departmana za fiziku i Departmana za matematiku PMF organizuje seriju naučno-popularnih predavanja. Predavanja ...
Slika dana: Galileo Galilej i teleskop [25.08.2014]

Prvi teleskop

Galileo Galilej i prvi teleskop (izvor: Physics Today)Na današnji dan 1609. godine Galileo Galilej predstavio je "prvi teleskop" Leonardu Donatu, vladaru Venecije, i njegovim savetnicima. Galileo Galilej napravio je ovaj ...
apolo11-pre-poletanja

52 godine od Malog koraka za čoveka - Apolo 11

Na današnji dan, pre tačno 52 godine, 20. jula 1969. godine čovek je prvi sleteo na površinu drugog nebeskog tela.Oko šest sati pre “malog koraka za čoveka, ali velikog za čovečanstvo” dvočlana posada ...
Perseids_Meteor_Shower_2012

Predavanje “O meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo fizike i matematike”

Specijalan gost ovogodišnjeg programa Maj mesec matematike u Nišu biće prof. dr Dragan Gajić. U četvrtak 20. maja 2021. godine od 19:45 h, prof dr Dragan Gajić će održati online predavanjeO meteoroidima, meteoritima i meteorima uz malo ...
earth-living-conditions

Dan planete Zemlje - 22. april

Današnji dan se od 1970. godine u celom svetu obeležava kao međunarodni dan naše planete Zemlje. Kada je pre 48 godina američki senator Gajrold Nelson inicirao ideju da ovaj dan ...
yuri_gagarin_01

Juri Gagarin - 60 godina od prvog leta u svemir

Pre tačno 60 godina, 12. aprila 1961. godine oko 9 sati po Moskovskom vremenu, raketa Vostok 1 poletela je ka svemiru. U raketi je sedeo Juri Gagarin koji je nekoliko minuta kasnije postao prvi čovek u ...
Slide9

Predavanje Saturn - gospodar prstenova

Predavanje „Najvišu planetu vidim trostruko ili Saturn - gospodar prstenova" biće održano u četvrtak 4. marta od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD Alfa, kao i na ...
Slide8

Predavanje “Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!”

Predavanje „Da Jupitera nije bilo, ni nas ne bi bilo!“ biće održano u četvrtak 18. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu AD ...
Slide7

Predavanje: “Mars – Mirna planeta boga rata”

Predavanje „Mars – Mirna planeta boga rata“ biće održano u četvrtak 11. februara od 19:00 h. Predavač će biti prof. dr Dragan Gajić.Predavanje možete pratiti na sajtu i YouTube kanalu Astronomskog društva “Alfa” iz Niša, kao ...
predavanje-02

Predavanje “Sunce – zvezda Sunčevog sistema”

U četvrtak 24. decembra od 19 h biće održano online predavanjeSunce – zvezda Sunčevog sistemapredavač će biti dr Milan Milošević. Predavanje možete pratiti na sajtu AD Alfa i na našem YouTube kanalu, kao i na ...
Jupiter-and-Saturn-777x466-1

Velika konjunkcija Jupitera i Saturna

Sutra, u ponedeljak 21. decembra 2020. godine dve najveće planete Sunčevog sistema. Jupiter i Saturn, na nebu će izgledati vrlo blizu. Kad padne mrak, na zapadu, nisko na horizontu sijaće ...
solar-system-nasa

Serija predavanja: “Ekskurzija kroz Sunčev sistem”

Astronomsko društvo “Alfa”, u sklopu projekta “Malim koracima ka astronomiji” vas, kroz seriju predavanja “vodi” na ekskurziju kroz Sunčev sistem.Kroz niz tematskih predavanja imaćete priliku da se upoznate sa Sunčevim sistemom, Suncem, Zemljom i ...
ada_lovelace_portrait

Rođendan Ejde King Lavlejs - prve programerke

Samo dan kasnije ali i mnogo godina pre rođenja Grejs Hoper, na današnji dan, 10. decembra 1815. godine rođena je Ejda King Lavlejs (Ada Lovelace), ćerka čuvenog engleskog pesnika Lorda Bajrona, ...

Diferencijalne jednacine prvog reda

Kratak pregled metoda resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina prvog reda


1.1 Razdvojene promenljive

Diferencijalne jednacine prvog reda 1

Diferencijalne jednacine prvog reda 2

U opštem slučaju:

Diferencijalne jednacine prvog reda 3

1.2 Homogena diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 4

Smenom: Diferencijalne jednacine prvog reda 5 polazna jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 6

tj. diferencijalna jednačina oblika

Primedba: diferencijalna jednačina oblika:

Diferencijalne jednacine prvog reda 7

gde je a, b, c, A, B, C = const, može se svesti na jednačinu oblika . Moguća su dva slučaja:

1o) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 8 smenom: Diferencijalne jednacine prvog reda 9 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 10

Sistem jednačina:

Diferencijalne jednacine prvog reda 11

ima rešenje po a i bpa jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 12

a to je jednačina oblika .

20) Neka je Diferencijalne jednacine prvog reda 13, tj. Diferencijalne jednacine prvog reda 14 gde je k konstanta. Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 15, gde je u nova nepoznata f-ja promenljive x. Jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 16

odnosno jednačina oblika .

1.3 Linearna diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 17

Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 18 jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.

1o) Homogena jednačina:

Diferencijalne jednacine prvog reda 19

za Diferencijalne jednacine prvog reda 20 postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 21

tj. jednačina oblika čije je rešenje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 22

Može se uzeti Diferencijalne jednacine prvog reda 23 kao rešenje jednačine .

2o) Da bi rešili pretpostavimo Diferencijalne jednacine prvog reda 24:

Diferencijalne jednacine prvog reda 25

Diferencijalne jednacine prvog reda 26

ako se jn-e i zamene u dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 27

odnosno:

Diferencijalne jednacine prvog reda 28

pa je opšte rešenje jednačine :

Diferencijalne jednacine prvog reda 29

U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:

Diferencijalne jednacine prvog reda 30

tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.

1.4 Bernulijeva jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 31

Gde je Diferencijalne jednacine prvog reda 32, za Diferencijalne jednacine prvog reda 33 jednačina postaje linearna.

Uvođenjem smene Diferencijalne jednacine prvog reda 34, gde je z nova nepoznata f-ja a k konstanta, jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 35

Diferencijalne jednacine prvog reda 36

Konstantu k treba izabrati tako da je:

Diferencijalne jednacine prvog reda 37

Posle ove smene jednačina glasi:

Diferencijalne jednacine prvog reda 38

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 39

Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 40

1.5 Rikartijeva jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 41

Za Diferencijalne jednacine prvog reda 42 jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.

Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .

Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 43, gde je y1(x) jedno partikularno rešenje a z nova nepoznata funkcija jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 44

Diferencijalne jednacine prvog reda 45

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 46

Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 47

gde je C proizvoljna konstanta a F, G, H i K određene funkcije.

1.6 Klerova jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 48

Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 49 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 50

odakle se, nakon diferenciranja po x, dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 51

10) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 52 pa na osnovu jednačine opšte rešenje jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 53

2o) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 54 eliminacijom p iz jednačina Diferencijalne jednacine prvog reda 55 dobija se singularno rešenje jednačine koje nije izraženo u opštem rešenju.

1.7 Lagranževa jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 56

Ova jednačina se rešava slično kao i Klerova. Posle smene Diferencijalne jednacine prvog reda 49 jednačina dobija oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 58

odakle se, nakon diferenciranja, dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 59

Diferencijalne jednacine prvog reda 60

Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 61 jednačina je Klerova, pretpostavimo onda da je Diferencijalne jednacine prvog reda 62 tada jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 63

a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika

Diferencijalne jednacine prvog reda 64

pa je opšte rešenje Lagranževe jednačine u parametarskom obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 65

1.8 Jednačina prvog reda drugog stepena

Diferencijalne jednacine prvog reda 66

Ako se jednačina može napisati u obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 67

tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje dve jednačine prvog stepena:

Diferencijalne jednacine prvog reda 68

Opšta rešenja ovih jednačina su Diferencijalne jednacine prvog reda 69 pa je opšte rešenje jednačine :

Diferencijalne jednacine prvog reda 70

gde je C proizvoljna konstanta.

1.9 Totalni diferencijal

Diferencijalne jednacine prvog reda 71

gde funkcije P i Q imaju neprekidne parcijalne izvode po x i z. Ako postoji funkcija u(x,y) takva da važi:

Diferencijalne jednacine prvog reda 72

tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina..

Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeno je relacijom:

Diferencijalne jednacine prvog reda 73

gde je C proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija u, za koju važi , treba poći od jednakosti:

Diferencijalne jednacine prvog reda 74

odakle se, upoređivanjem sa dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 75

odnosno:

Diferencijalne jednacine prvog reda 76

Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i jednaki, pa je, prema tome, Diferencijalne jednacine prvog reda 77 potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 78

gde je f(y) neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 79

Diferencijalne jednacine prvog reda 80

Druga jednačina u i jednačina daju:

Diferencijalne jednacine prvog reda 81

gde je K proizvoljna konstanta.

Konačno se dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 82

pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

Diferencijalne jednacine prvog reda 83

gde je C proizvoljna konstanta.

Series NavigationObične diferencijalne jednačine drugog reda
15 Comments
  1. avatar 13.08.2007.
  2. avatar 13.08.2007.
  3. avatar 13.08.2007.
  4. avatar 28.12.2007.
  5. avatar 30.01.2008.
  6. avatar 30.01.2008.
  7. avatar 03.08.2008.
  8. avatar 21.05.2009.
  9. avatar 21.05.2009.
  10. avatar 24.08.2009.
  11. avatar 30.08.2009.
  12. avatar 28.10.2009.
  13. avatar 28.10.2009.
  14. avatar 29.10.2009.
  15. avatar 08.08.2011.

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: