apolo11-pre-poletanja

Apolo 11: 50 godina kasnije

Na današnji dan, pre tačno 50 godina, tj. 16. jula 1969. godine u 9:32h po lokalnom vremenu (13:32 po Griniču), iz Kennedy Space Center-a lansirana je raketa nosač Saturn V. Na vrhu te ...
DSC_2945a

Delimično pomračenje Meseca (16. jul 2019)

Sledeća nedelja, astronomski gledano, biće u znaku Meseca. Nebeska mehanika i istorija osvajanja svemira donose nam nekoliko zanimljivih događaja.U utorak, 16. jula, na dan kada je 1969. godine raketa nosač ...
2014-07-10-Rodjendan-Nikole-Tesle

Dan nauke - rođendan Nikole Tesle

Prema odluci Vlade Republike Srbije današnji dan, 10. juli, obeležava se kao Dan nauke u Srbiji. Datum je izabran u čast Nikole Tesle koji je rođen na današnji dan 1856. godine. ...
sunbathing

Sunčanje i/ili zdravlje? Izaberite sami!

Sunce, taj žuti disk koji svakoga dana putuje po plavom nebeskom svodu, je samo jedna od nekoliko milijardi zvezda rasutih svuda po praznom prostoru svemira. Ono je jedna sasvim obična ...
davinci

Leonardo da Vinči: Umetnik. Naučnik. Pronalazač.

Pišu: Jovana Savić i Jovana Stanimirović“Onaj ko isključivo ceni praksu bez teorije je poput moreplovca koji se ukrca na brod bez kormila i kompasa, ne znajući kuda se plovi.” - ...
crna-rupa-prva

Prva fotografija crne rupe!

Već nekoliko decenija, a može se reći i vekova, crne rupe privlače ogromnu pažnju kako naučnika tako i javnosti, kroz popularne tekstove, različite ideje i SF romane i (visokobudžetne) filmove.Do ...

Diferencijalne jednacine prvog reda

Kratak pregled metoda resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina prvog reda


1.1 Razdvojene promenljive

U opštem slučaju:

1.2 Homogena diferencijalna jednačina

Smenom: polazna jednačina postaje:

tj. diferencijalna jednačina oblika

Primedba: diferencijalna jednačina oblika:

gde je a, b, c, A, B, C = const, može se svesti na jednačinu oblika . Moguća su dva slučaja:

1o) Ako je smenom: jednačina postaje:

Sistem jednačina:

ima rešenje po a i bpa jednačina postaje:

a to je jednačina oblika .

20) Neka je , tj. gde je k konstanta. Smenom , gde je u nova nepoznata f-ja promenljive x. Jednačina postaje:

odnosno jednačina oblika .

1.3 Linearna diferencijalna jednačina

Ako je jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.

1o) Homogena jednačina:

za postaje:

tj. jednačina oblika čije je rešenje:

Može se uzeti kao rešenje jednačine .

2o) Da bi rešili pretpostavimo :

ako se jn-e i zamene u dobija se:

odnosno:

pa je opšte rešenje jednačine :

U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:

tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.

1.4 Bernulijeva jednačina

Gde je , za jednačina postaje linearna.

Uvođenjem smene , gde je z nova nepoznata f-ja a k konstanta, jednačina postaje:

Konstantu k treba izabrati tako da je:

Posle ove smene jednačina glasi:

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:

1.5 Rikartijeva jednačina

Za jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.

Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .

Smenom , gde je y1(x) jedno partikularno rešenje a z nova nepoznata funkcija jednačina postaje:

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:

gde je C proizvoljna konstanta a F, G, H i K određene funkcije.

1.6 Klerova jednačina

Smenom jednačina postaje:

odakle se, nakon diferenciranja po x, dobija:

10) Ako je pa na osnovu jednačine opšte rešenje jednačine ima oblik:

2o) Ako je eliminacijom p iz jednačina dobija se singularno rešenje jednačine koje nije izraženo u opštem rešenju.

1.7 Lagranževa jednačina

Ova jednačina se rešava slično kao i Klerova. Posle smene jednačina dobija oblik:

odakle se, nakon diferenciranja, dobija:

Ako je jednačina je Klerova, pretpostavimo onda da je tada jednačina postaje:

a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika

pa je opšte rešenje Lagranževe jednačine u parametarskom obliku:

1.8 Jednačina prvog reda drugog stepena

Ako se jednačina može napisati u obliku:

tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje dve jednačine prvog stepena:

Opšta rešenja ovih jednačina su pa je opšte rešenje jednačine :

gde je C proizvoljna konstanta.

1.9 Totalni diferencijal

gde funkcije P i Q imaju neprekidne parcijalne izvode po x i z. Ako postoji funkcija u(x,y) takva da važi:

tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina..

Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeno je relacijom:

gde je C proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija u, za koju važi , treba poći od jednakosti:

odakle se, upoređivanjem sa dobija:

odnosno:

Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i jednaki, pa je, prema tome, potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:

gde je f(y) neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:

Druga jednačina u i jednačina daju:

gde je K proizvoljna konstanta.

Konačno se dobija:

pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

gde je C proizvoljna konstanta.

Series NavigationObične diferencijalne jednačine drugog reda
15 Comments
  1. avatar 13. 08. 2007.
  2. avatar 13. 08. 2007.
  3. avatar 13. 08. 2007.
  4. avatar 28. 12. 2007.
  5. avatar 30. 01. 2008.
  6. avatar 30. 01. 2008.
  7. avatar 03. 08. 2008.
  8. avatar 21. 05. 2009.
  9. avatar 21. 05. 2009.
  10. avatar 24. 08. 2009.
  11. avatar 30. 08. 2009.
  12. avatar 28. 10. 2009.
  13. avatar 28. 10. 2009.
  14. avatar 29. 10. 2009.
  15. avatar 08. 08. 2011.

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: