CERN-MC2024

CERN Masterclass 2024

U periodu od 15. februara do 27. marta 2024. godine pod pokroviteljstvom CERN-a i grupe IPPOG (International Particle Physics Outreach Group) održaće se 20. međunarodni program “MasterClasses – Hands on Particle Physics” (MC2024). U ...
skolaPMN

Otvaranje Škole prirodno-matematičkih nauka u Nišu

U subotu, 18. novembra na Prirodno-matematičkom fakultetu u Nišu počinje Škola prirodno-matematičkih nauka. Ovu školu namenjenu učenicima 7. i 8. razreda osnovne i svih razreda srednje škole ove godine po ...
biosignatureNajava

Astrobiologija i astronomsko posmatranje povodom Noći istraživača

Povodom predstojeće Evropske noći istraživača AD "Alfa" i Departman za fiziku PMF-a u Nišu organizuju naučno-popularno predavanje (četvrtak, 28. septembar) i teleskopsko posmatranje (petak, 29. septembar).Jedno od kanonskih pitanja astrobiologije ...
Perseid Meteors over Mount Shasta

Letnji vatromet u epizodi Perseidi 2023

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine u vreme Nisville Jazz festivala, ...
Unearthed-SuperMoon-1611-1-web

Dva (plava) Supermeseca u avgustu 2023. godine

Ako sutra uveče pogledate u nebo videćete Supermesec, najveći Mesec u mnogo godina! Bićete svedok spektakularnog prizora kakav se retko viđa na nebu, pun Mesec će biti ogroman, najveći koji ...
kvark-kvazar

Od kvarka do kvazara - uz mnogo astrofizike i malo matematike u Maju mesecu matematike u Nišu

Obeležavanje Maja meseca matematike, u organizaciji Departmana za matematiku PMF-a u Nišu nastavlja se u petak, 26. maja, od 17:00 h, u amfiteatru Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu sa tri nova ...
Slika dana: Mesec u polusenci [18.10.2013]

Pomračenje Meseca polusenkom (5. maj 2023)

Za ovaj petak (5. maj) nebeska mehanika “pripremila” je pomračenje Meseca, Međutim, ovo pomračenje značajno će se razlikovati od onih atraktivnih delimičnih i totalnih pomračenja Meseca koja smo posmatrali tokom ...
slika2

Нобелова награда за физику 2022. године

Аутор: проф. др Мирољуб Дугић(Институт за физику, Природно-математички факултет, Универзитет у Крагујевцу)Нобелову награду за физику за 2022. годину поделила су тројица експерименталних физичара за област заснивања квантне механике, Ален Аспе ...
CometZtf_Hernandez_960

Kometa C/2022 E3 (ZTF)

Ako ste tokom prethodnih par meseci bili totalno izolovani od vesti ili toliko ne volite vesti iz astronomije da čim ih čujete menjate sajt/TV kanal/radio stanicu onda verovatno niste čuli ...
solar-eclipse

Delimično pomračenje Sunca (25. oktobar 2022)

Još tačno deset dana deli nas do predstojećeg delimičnog pomračenja Sunca koje će biti vidljivo iz Srbije. Pomračenje Sunca za mnoge je verovatno najznačajnija i najazanimljivija pojava koju možemo da ...
kosmicke-litice

Džejms Veb Teleskop - prve fotografije

Odavno je "Svet nauke" otišao u zimski... letnji... višegodišnji san i teško ga je probuditi ali neki događaji u nauci su toliko značajni da mogu da predstavljaju prekretnicu u budućem ...
800px-Benjamin_Franklin_1767

Bendžamin Frenklin (1706 - 1790)

Na današnji dan, 17. januara, 1706. godine, u Bostonu (Masačusets, SAD), rođen je Benžamin Frenklin (Benjamin Franklin), američki naučnik i političar, borac za ljudska prava, učesnik u Američkom ratu za ...
1280px-ALH84001_structures

Meteorit sa Marsa ALH84001

Najpoznatiji meteorit sa Marsa otkriven je 27. decembra 1984. godine na Antarktiku.Ovaj meteorit nosi oznaku ALH84001 i otkriven je u oblasti Allan Hills, grupi brda na Antarktiku. Pronašao ga tim ...
Slika dana: Galileo Galilej i teleskop [25.08.2014]

Prvi teleskop

Galileo Galilej i prvi teleskop (izvor: Physics Today)Na današnji dan 1609. godine Galileo Galilej predstavio je "prvi teleskop" Leonardu Donatu, vladaru Venecije, i njegovim savetnicima. Galileo Galilej napravio je ovaj ...
apolo11-pre-poletanja

52 godine od Malog koraka za čoveka - Apolo 11

Na današnji dan, pre tačno 52 godine, 20. jula 1969. godine čovek je prvi sleteo na površinu drugog nebeskog tela.Oko šest sati pre “malog koraka za čoveka, ali velikog za čovečanstvo” dvočlana posada ...
yuri_gagarin_01

Juri Gagarin - 60 godina od prvog leta u svemir

Pre tačno 60 godina, 12. aprila 1961. godine oko 9 sati po Moskovskom vremenu, raketa Vostok 1 poletela je ka svemiru. U raketi je sedeo Juri Gagarin koji je nekoliko minuta kasnije postao prvi čovek u ...
ada_lovelace_portrait

Rođendan Ejde King Lavlejs - prve programerke

Samo dan kasnije ali i mnogo godina pre rođenja Grejs Hoper, na današnji dan, 10. decembra 1815. godine rođena je Ejda King Lavlejs (Ada Lovelace), ćerka čuvenog engleskog pesnika Lorda Bajrona, ...
Grace-Hopper

Grejs Hoper: do ratne mornarice do kompajlera i buba

Kada govorimo o IT sektoru, matematici i vojsci verovatno nam prva asocijacija budu muškarci. Međutim, tu sliku menja žena rođena na današnji dan, 9. decembra 1906. godine u Njujorku. Doktorirala ...
kupola-atomske-bombe

Dan kada je eksplodirala prva atomska bomba

Pre tačno 75 godine, tačnije 6. avgusta 1945. američki avion bombarder bacio je jednu jedinu bombu na japanski grad. Taj grad bila je Hirošima, a posledice te bombe pamtiće generacije ...
530px-palebluedot

30 godina Plave tačke u beskraju i Porodičnog portreta

Šta mislite šta je ovo na slici? Ne znate? …  Ova svetla tačka je Zemlja, naša planeta. Generacije ljudi, hiljadama godina žive na toj svetloj tački, sve što ste ikada… nalazi se na njoj…A fotografije je ...
planeta-vlasina

Planeta Vlasina oko zvezde Morave

Povodom jubileja koji ove godine obeležava Međunarodna astronomska unija (MAU), 100 godina od svog osnivanja, sve zemlje članice MAU su imale jedinstvenu priliku da kumuju imenu jednoj od novootkrivenih planeta ...
sunbathing

Sunčanje i/ili zdravlje? Izaberite sami!

Sunce, taj žuti disk koji svakoga dana putuje po plavom nebeskom svodu, je samo jedna od nekoliko milijardi zvezda rasutih svuda po praznom prostoru svemira. Ono je jedna sasvim obična ...
davinci

Leonardo da Vinči: Umetnik. Naučnik. Pronalazač.

Pišu: Jovana Savić i Jovana Stanimirović“Onaj ko isključivo ceni praksu bez teorije je poput moreplovca koji se ukrca na brod bez kormila i kompasa, ne znajući kuda se plovi.” - ...
crna-rupa-prva

Prva fotografija crne rupe!

Već nekoliko decenija, a može se reći i vekova, crne rupe privlače ogromnu pažnju kako naučnika tako i javnosti, kroz popularne tekstove, različite ideje i SF romane i (visokobudžetne) filmove.Do ...
dositej-obradovic

Dositej Obradović – srpski prosvetitelj i reformator

„Knjige, braćo moja, knjige, a ne zvona i praporce!“Dositej ObradovićNa današnji dan 28. marta 1811. godine u Beogradu je umro najveći srpski prosvetitelj i reformator – Dositej Obradović. Sahranjen je ...

Diferencijalne jednacine prvog reda

Kratak pregled metoda resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina prvog reda


1.1 Razdvojene promenljive

Diferencijalne jednacine prvog reda 1

Diferencijalne jednacine prvog reda 2

U opštem slučaju:

Diferencijalne jednacine prvog reda 3

1.2 Homogena diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 4

Smenom: Diferencijalne jednacine prvog reda 5 polazna jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 6

tj. diferencijalna jednačina oblika

Primedba: diferencijalna jednačina oblika:

Diferencijalne jednacine prvog reda 7

gde je a, b, c, A, B, C = const, može se svesti na jednačinu oblika . Moguća su dva slučaja:

1o) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 8 smenom: Diferencijalne jednacine prvog reda 9 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 10

Sistem jednačina:

Diferencijalne jednacine prvog reda 11

ima rešenje po a i bpa jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 12

a to je jednačina oblika .

20) Neka je Diferencijalne jednacine prvog reda 13, tj. Diferencijalne jednacine prvog reda 14 gde je k konstanta. Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 15, gde je u nova nepoznata f-ja promenljive x. Jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 16

odnosno jednačina oblika .

1.3 Linearna diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 17

Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 18 jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.

1o) Homogena jednačina:

Diferencijalne jednacine prvog reda 19

za Diferencijalne jednacine prvog reda 20 postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 21

tj. jednačina oblika čije je rešenje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 22

Može se uzeti Diferencijalne jednacine prvog reda 23 kao rešenje jednačine .

2o) Da bi rešili pretpostavimo Diferencijalne jednacine prvog reda 24:

Diferencijalne jednacine prvog reda 25

Diferencijalne jednacine prvog reda 26

ako se jn-e i zamene u dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 27

odnosno:

Diferencijalne jednacine prvog reda 28

pa je opšte rešenje jednačine :

Diferencijalne jednacine prvog reda 29

U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:

Diferencijalne jednacine prvog reda 30

tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.

1.4 Bernulijeva jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 31

Gde je Diferencijalne jednacine prvog reda 32, za Diferencijalne jednacine prvog reda 33 jednačina postaje linearna.

Uvođenjem smene Diferencijalne jednacine prvog reda 34, gde je z nova nepoznata f-ja a k konstanta, jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 35

Diferencijalne jednacine prvog reda 36

Konstantu k treba izabrati tako da je:

Diferencijalne jednacine prvog reda 37

Posle ove smene jednačina glasi:

Diferencijalne jednacine prvog reda 38

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 39

Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 40

1.5 Rikartijeva jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 41

Za Diferencijalne jednacine prvog reda 42 jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.

Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .

Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 43, gde je y1(x) jedno partikularno rešenje a z nova nepoznata funkcija jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 44

Diferencijalne jednacine prvog reda 45

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 46

Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 47

gde je C proizvoljna konstanta a F, G, H i K određene funkcije.

1.6 Klerova jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 48

Smenom Diferencijalne jednacine prvog reda 49 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 50

odakle se, nakon diferenciranja po x, dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 51

10) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 52 pa na osnovu jednačine opšte rešenje jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 53

2o) Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 54 eliminacijom p iz jednačina Diferencijalne jednacine prvog reda 55 dobija se singularno rešenje jednačine koje nije izraženo u opštem rešenju.

1.7 Lagranževa jednačina

Diferencijalne jednacine prvog reda 56

Ova jednačina se rešava slično kao i Klerova. Posle smene Diferencijalne jednacine prvog reda 49 jednačina dobija oblik:

Diferencijalne jednacine prvog reda 58

odakle se, nakon diferenciranja, dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 59

Diferencijalne jednacine prvog reda 60

Ako je Diferencijalne jednacine prvog reda 61 jednačina je Klerova, pretpostavimo onda da je Diferencijalne jednacine prvog reda 62 tada jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine prvog reda 63

a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika

Diferencijalne jednacine prvog reda 64

pa je opšte rešenje Lagranževe jednačine u parametarskom obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 65

1.8 Jednačina prvog reda drugog stepena

Diferencijalne jednacine prvog reda 66

Ako se jednačina može napisati u obliku:

Diferencijalne jednacine prvog reda 67

tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje dve jednačine prvog stepena:

Diferencijalne jednacine prvog reda 68

Opšta rešenja ovih jednačina su Diferencijalne jednacine prvog reda 69 pa je opšte rešenje jednačine :

Diferencijalne jednacine prvog reda 70

gde je C proizvoljna konstanta.

1.9 Totalni diferencijal

Diferencijalne jednacine prvog reda 71

gde funkcije P i Q imaju neprekidne parcijalne izvode po x i z. Ako postoji funkcija u(x,y) takva da važi:

Diferencijalne jednacine prvog reda 72

tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina..

Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeno je relacijom:

Diferencijalne jednacine prvog reda 73

gde je C proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija u, za koju važi , treba poći od jednakosti:

Diferencijalne jednacine prvog reda 74

odakle se, upoređivanjem sa dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 75

odnosno:

Diferencijalne jednacine prvog reda 76

Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i jednaki, pa je, prema tome, Diferencijalne jednacine prvog reda 77 potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 78

gde je f(y) neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:

Diferencijalne jednacine prvog reda 79

Diferencijalne jednacine prvog reda 80

Druga jednačina u i jednačina daju:

Diferencijalne jednacine prvog reda 81

gde je K proizvoljna konstanta.

Konačno se dobija:

Diferencijalne jednacine prvog reda 82

pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

Diferencijalne jednacine prvog reda 83

gde je C proizvoljna konstanta.

Series NavigationObične diferencijalne jednačine drugog reda
15 Comments
  1. avatar 13.08.2007.
  2. avatar 13.08.2007.
  3. avatar 13.08.2007.
  4. avatar 28.12.2007.
  5. avatar 30.01.2008.
  6. avatar 30.01.2008.
  7. avatar 03.08.2008.
  8. avatar 21.05.2009.
  9. avatar 21.05.2009.
  10. avatar 24.08.2009.
  11. avatar 30.08.2009.
  12. avatar 28.10.2009.
  13. avatar 28.10.2009.
  14. avatar 29.10.2009.
  15. avatar 08.08.2011.

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.