1524133194429

Kvalitet vazduha - boja, ukus i miris?

Kraj prošle i početak ove godine obeležilo je mnogo priče, a može se reći, i straha u javnosti u vezi kvaliteta vazduha u mnogim gradovima širom Srbije. Dok na društvenim ...
mesec-pomracenje-2014

Totalno pomračenje krvavog (super)Meseca - 21. januar 2019

Za sledeću nedelju nebeska mehanika "pripremila" je totalno pomračenje Meseca. Pomračenje počinje 21. januara u 03:36 h po našem vremenu i trajaće sve do 8:48 h. Totalno pomračenje Meseca počinje ...
NH_KEM_JourneyThroughKB_Trajectory_Guo20181031_v2

Razglednica iz ledenih delova Sunčevog sistema

Noćas, dok je veliki deo planete još uvek slavio ili čekao Novu godinu, negde daleko, blizu same granice Sunčevog sistema dešavalo se nešto zanimljivo.Svemirska letelica "Novi horizonti" jutros je oko ...
Unearthed-NextYear-1512-1-web

Svet nauke u 2018. godini

Kraj godine je vreme kad svi razmišljaju o tome šta su uradili i postigli u prethodnoj godini i kad se prave planovi za narednu godinu. Pre čestitki i želja za ...
Earthrise

Rađanje Zemlje

Tokom istorije Zemlje, rađale su se i nestajale različite zemlje, ali samo mali broj ljudi imao je priliku da posmatra rađanje Zemlje. Prva takva fotografija snimljena je na današnji dan ...
12968132_472972296228391_4467902501379077498_o-1024x643

Mini hidroelektrane: tihi ekocid Srbije

Piše: Nevena Grubačpreuzeto sa sajta KosmodromU Srbiji je planirana gradnja 850 malih hidroelektrana na planinskim rekama, pretežno u zaštićenim područjima. Negativne posledice su nesagledive, upozoravaju naučnici, a obuhvataju uništenje biodiverziteta ...

Matematika doba Kerala

Kerala je mesto u južnij indiji u kome je Madhava iz Sangamargrame oko 1300 godine osnovao školu astronimije. Škola je imala još 6 bitnih sledbenika koji iza sebe ostavili velika otkrića kako iz astronomije tako i iz matematike, jer su proučavajući astronimiju razvili zavidan matematički aparat.Najbitnija matematička dostignuća su u razvoju trigonometrijskih funkcija i matematičkoj analizi. Delo u kome su ova dostignuća prikazana čak i sa dokazima što je neobično za to vreme je delo indijskog astronoma Jestadeve koje se zove Juktibasa (racionalni jezik matematike).

U prvom delu se prikazuju matematička analiza (prvi rad ikada koji se time bavi), algebra, aritmetika, razlomci, logika a u drugom astronomija.

Na poćetku dela su dati dokazi pitagorine teoreme obima kruga kao i formule za arkus tanges ugla koja glasi :

r\Theta = \frac {r \sin\Theta} {\cos\Theta} - \frac {1} {3}r\frac {(\sin\Theta)^3} {(\cos\Theta)^3} + \frac {1} {5}r\frac {(\sin\Theta)^5} {(\cos\Theta)^5} - \frac {1} {7}r\frac {(\sin\Theta)^7} {(\cos\Theta)^7}+\dots

odnosno:

\Theta = \tan\Theta - \frac {1} {3} \tan^3\Theta + \frac {1} {5} \tan^5\Theta - \dots

Takođe daje se i beskonačni niz za vrednost π:

\frac {\pi} {4} = 1 - \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \dots + \frac {(-1)^n} {2n+1} + \dots

Kao i transformacija ovog niza:

\pi = \sqrt{12} \left(1 - \frac {1} {3\cdot3} + \frac {1} {5\cdot3^2} - \frac {1} {7\cdot3^3} + \dots\right)

A daju se i formule za same trigonometrijske funkcije:

\sin x = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^5} {5!} + \dots

U svim ovim formulama primenjivani su njihovi principi koji u stvari predstavljaju današnju osnovu analize, konkretnije osnovni oblik tajlerovog reda , limesa, izvoda funkcije kao i ideja da je površina ispod zakrivljene linije njen integral. Primeri njihove matematičke indukcije i znanja nizova su formule beskonačnih nizova:

\frac {1} {1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots

1^p + 2^p + \dots + n^p \approx \frac {n^{p+1}} {p+1}

Oni i razvijaju nasleđe svojih velikih predhodnika, pa na primer za interpolaciju polinoma beskonačne sume se dobija:

\lim_{\alpha\to 0} = \frac {jya (x + \alpha) - jya x} {\alpha} = \frac {koj x} {R}

\lim_{\alpha\to 0} = \frac {koj (x + \alpha) - koj x} {\alpha} = \frac {-jya x} {R}

Mada oni nisu baš poznavali pojam limesa razumeli su da razlomak sa leve strane može da bude blizak onom sa desne onoliko koliko se želi ako \alpha teži 0. Jyesthadeva je oko 1500. godine ovo prvi dokazao koristeći izvod a zanimljivo je da se oni koriste i pre njega.

Na slici iznad PX je arc dužine x a PT je \alpha, veličina kojom se arc dužine povećava. Kvantitet jya(x + \alpha) - jya x je k veličina koju nača funkcija menjaoznačićemo je posebnom notacijom.

\Delta (jya x) = jya(x + \alpha) - jya x

Problem je procenit ST = \Delta(jya x) kao i PS = -\Delta(koj \alpha). Ako sa Q označimo

srednju tačku arc dužine PT, i primetimo da je OQ normala simetrale PT.

Zatim treba da se objasni zašto je koj (x + a) \le koj x za \alpha \ge 0 i samim tim

zašto je PS = -\Delta(koj \alpha).

Za male promene luka PT je α=PT, pa se daljim aproksimacjaama dobija

\lim_{a \to 0} = \frac {\alpha} {PT} = \lim_{a \to 0} = \frac {BQ} {jya x} = \lim_{a \to 0} = \frac {OB} {koj x} = 1

Iz sličnosti trouglova TSB i OBQ je:

\frac {ST} {PT} = \frac {OB} {OQ} \implies \frac {\Delta(jya x} {\alpha} \frac {\alpha} {PT} = \frac {koj x} {R} \frac {OB} {koj x}

\frac {PS} {PT} = \frac {BQ} {OQ} \implies \frac {-\Delta(koj x} {\alpha} \frac {\alpha} {PT} = \frac {jya x} {R} \frac {BQ} {jya x}

Nakon ovoga se primenjuje Brahmina formula interpolacije pa je dalje za \alpha \to o:

jya (x + t) \approx jya x + \frac {t} {R} koj x - \frac {t^2} {2R^2} jya x

Series NavigationBaskara IIIstorija matematike Indije – UvodSutre i Period Veda

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: