NightOfThePerseids_Horalek_1800

Meteorska kiša - Perseidi 2020 (Stižu zvezde “padalice”)

Svake vedre noći, ako odete negde daleko od svetla grada i ako ste dovoljno strpljivi možete da vidite nekoliko meteora svakog sata. Međutim, svake godine oko 10. avgusta "zvezde padalice" ...
kupola-atomske-bombe

Dan kada je eksplodirala prva atomska bomba

Pre tačno 75 godine, tačnije 6. avgusta 1945. američki avion bombarder bacio je jednu jedinu bombu na japanski grad. Taj grad bila je Hirošima, a posledice te bombe pamtiće generacije ...
APOD-Soponyai-PenumbralEclipse

“Pomračenje” Meseca – 5. jun 2020

Za večeras (5. jun) nebeska mehanika “pripremila” je pomračenje Meseca, Međutim, ovo pomračenje značajno će se razlikovati od onih atraktivnih delimičnih i totalnih pomračenja Meseca koja smo posmatrali tokom prethodnih par godina.Večerašnje pomračenje biće ...
demo2-launch-1024x584-1

Uspešno poletanje - Falkon 9 i Dragon

Sinoć, 30. maja, u 21:22 h po našem vremenu raketa Falcon 9 uspešno je poletela sa lansirne rampe 39A u Kenedi svemirskom centru. Na vrhu rakete nalazila se kapsula Dragon, ...
covid-19

Korona virus - COVID-19 (korisni linkovi)

Ako prethodnih par nedelja (meseci) niste bili na godišnjem odmoru na Mesecu, Marsu ili Jupiteru sigurno ste puno toga čuli, videli, pročitali o tzv. korona virusu (tj. virusu SARS-CoV-2) koji ...
CREATOR: gd-jpeg v1.0 (using IJG JPEG v62), quality = 82

Ajnštajn, Hoking i broj π

Postoje oni datume za koje čovek ne može da izdvoji najvažniji događaj koji se tada dogodio ili zbog čega je taj datum značajan. Jedan takav datum je 14. mart. U ...

Matematika doba Kerala

Kerala je mesto u južnij indiji u kome je Madhava iz Sangamargrame oko 1300 godine osnovao školu astronimije. Škola je imala još 6 bitnih sledbenika koji iza sebe ostavili velika otkrića kako iz astronomije tako i iz matematike, jer su proučavajući astronimiju razvili zavidan matematički aparat.Najbitnija matematička dostignuća su u razvoju trigonometrijskih funkcija i matematičkoj analizi. Delo u kome su ova dostignuća prikazana čak i sa dokazima što je neobično za to vreme je delo indijskog astronoma Jestadeve koje se zove Juktibasa (racionalni jezik matematike).

U prvom delu se prikazuju matematička analiza (prvi rad ikada koji se time bavi), algebra, aritmetika, razlomci, logika a u drugom astronomija.

Na poćetku dela su dati dokazi pitagorine teoreme obima kruga kao i formule za arkus tanges ugla koja glasi :

r\Theta = \frac {r \sin\Theta} {\cos\Theta} - \frac {1} {3}r\frac {(\sin\Theta)^3} {(\cos\Theta)^3} + \frac {1} {5}r\frac {(\sin\Theta)^5} {(\cos\Theta)^5} - \frac {1} {7}r\frac {(\sin\Theta)^7} {(\cos\Theta)^7}+\dots

odnosno:

\Theta = \tan\Theta - \frac {1} {3} \tan^3\Theta + \frac {1} {5} \tan^5\Theta - \dots

Takođe daje se i beskonačni niz za vrednost π:

\frac {\pi} {4} = 1 - \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \dots + \frac {(-1)^n} {2n+1} + \dots

Kao i transformacija ovog niza:

\pi = \sqrt{12} \left(1 - \frac {1} {3\cdot3} + \frac {1} {5\cdot3^2} - \frac {1} {7\cdot3^3} + \dots\right)

A daju se i formule za same trigonometrijske funkcije:

\sin x = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^5} {5!} + \dots

U svim ovim formulama primenjivani su njihovi principi koji u stvari predstavljaju današnju osnovu analize, konkretnije osnovni oblik tajlerovog reda , limesa, izvoda funkcije kao i ideja da je površina ispod zakrivljene linije njen integral. Primeri njihove matematičke indukcije i znanja nizova su formule beskonačnih nizova:

\frac {1} {1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots

1^p + 2^p + \dots + n^p \approx \frac {n^{p+1}} {p+1}

Oni i razvijaju nasleđe svojih velikih predhodnika, pa na primer za interpolaciju polinoma beskonačne sume se dobija:

Matematika doba Kerala 1

\lim_{\alpha\to 0} = \frac {jya (x + \alpha) - jya x} {\alpha} = \frac {koj x} {R}

\lim_{\alpha\to 0} = \frac {koj (x + \alpha) - koj x} {\alpha} = \frac {-jya x} {R}

Mada oni nisu baš poznavali pojam limesa razumeli su da razlomak sa leve strane može da bude blizak onom sa desne onoliko koliko se želi ako \alpha teži 0. Jyesthadeva je oko 1500. godine ovo prvi dokazao koristeći izvod a zanimljivo je da se oni koriste i pre njega.

Na slici iznad PX je arc dužine x a PT je \alpha, veličina kojom se arc dužine povećava. Kvantitet jya(x + \alpha) - jya x je k veličina koju nača funkcija menjaoznačićemo je posebnom notacijom.

\Delta (jya x) = jya(x + \alpha) - jya x

Problem je procenit ST = \Delta(jya x) kao i PS = -\Delta(koj \alpha). Ako sa Q označimo

srednju tačku arc dužine PT, i primetimo da je OQ normala simetrale PT.

Zatim treba da se objasni zašto je koj (x + a) \le koj x za \alpha \ge 0 i samim tim

zašto je PS = -\Delta(koj \alpha).

Za male promene luka PT je α=PT, pa se daljim aproksimacjaama dobija

\lim_{a \to 0} = \frac {\alpha} {PT} = \lim_{a \to 0} = \frac {BQ} {jya x} = \lim_{a \to 0} = \frac {OB} {koj x} = 1

Iz sličnosti trouglova TSB i OBQ je:

\frac {ST} {PT} = \frac {OB} {OQ} \implies \frac {\Delta(jya x} {\alpha} \frac {\alpha} {PT} = \frac {koj x} {R} \frac {OB} {koj x}

\frac {PS} {PT} = \frac {BQ} {OQ} \implies \frac {-\Delta(koj x} {\alpha} \frac {\alpha} {PT} = \frac {jya x} {R} \frac {BQ} {jya x}

Nakon ovoga se primenjuje Brahmina formula interpolacije pa je dalje za \alpha \to o:

jya (x + t) \approx jya x + \frac {t} {R} koj x - \frac {t^2} {2R^2} jya x

Series NavigationBaskara IIIstorija matematike Indije – UvodSutre i Period Veda

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: