Diferencijalne jednacine prvog reda

Kratak pregled metoda resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina prvog reda

1.1 Razdvojene promenljive

U opštem slučaju:

1.2 Homogena diferencijalna jednačina

Smenom: polazna jednačina postaje:

tj. diferencijalna jednačina oblika

Primedba: diferencijalna jednačina oblika:

gde je a, b, c, A, B, C = const, može se svesti na jednačinu oblika . Moguća su dva slučaja:

1^o) Ako je smenom: jednačina postaje:

Sistem jednačina:

ima rešenje po a i bpa jednačina postaje:

a to je jednačina oblika .

2⁰) Neka je , tj. gde je k konstanta. Smenom , gde je u nova nepoznata f-ja promenljive x. Jednačina postaje:

odnosno jednačina oblika .

1.3 Linearna diferencijalna jednačina

Ako je jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.

1^o) Homogena jednačina:

za postaje:

tj. jednačina oblika čije je rešenje:

Može se uzeti kao rešenje jednačine .

2^o) Da bi rešili pretpostavimo :

ako se jn-e i zamene u dobija se:

odnosno:

pa je opšte rešenje jednačine :

U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:

tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.

1.4 Bernulijeva jednačina

Gde je , za jednačina postaje linearna.

Uvođenjem smene , gde je z nova nepoznata f-ja a k konstanta, jednačina postaje:

Konstantu k treba izabrati tako da je:

Posle ove smene jednačina glasi:

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:

1.5 Rikartijeva jednačina

Za jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.

Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .

Smenom , gde je y1(x) jedno partikularno rešenje a z nova nepoznata funkcija jednačina postaje:

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:

gde je C proizvoljna konstanta a F, G, H i K određene funkcije.

1.6 Klerova jednačina

Smenom jednačina postaje:

odakle se, nakon diferenciranja po x, dobija:

1⁰) Ako je pa na osnovu jednačine opšte rešenje jednačine ima oblik:

2^o) Ako je eliminacijom p iz jednačina dobija se singularno rešenje jednačine koje nije izraženo u opštem rešenju.

1.7 Lagranževa jednačina

Ova jednačina se rešava slično kao i Klerova. Posle smene jednačina dobija oblik:

odakle se, nakon diferenciranja, dobija:

Ako je jednačina je Klerova, pretpostavimo onda da je tada jednačina postaje:

a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika

pa je opšte rešenje Lagranževe jednačine u parametarskom obliku:

1.8 Jednačina prvog reda drugog stepena

Ako se jednačina može napisati u obliku:

tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje dve jednačine prvog stepena:

Opšta rešenja ovih jednačina su pa je opšte rešenje jednačine :

gde je C proizvoljna konstanta.

1.9 Totalni diferencijal

gde funkcije P i Q imaju neprekidne parcijalne izvode po x i z. Ako postoji funkcija u(x,y) takva da važi:

tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina..

Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeno je relacijom:

gde je C proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija u, za koju važi , treba poći od jednakosti:

odakle se, upoređivanjem sa dobija:

odnosno:

Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i jednaki, pa je, prema tome, potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:

gde je f(y) neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:

Druga jednačina u i jednačina daju:

gde je K proizvoljna konstanta.

Konačno se dobija:

pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

gde je C proizvoljna konstanta.

Series Navigation

Obične diferencijalne jednačine drugog reda